घन भौमितिक आकार

“मी घन बोलतोय”

“मी घन बोलतोय”. तुम्ही सापशिडीचा खेळ नक्कीच खेळला असणार. या खेळामध्ये फासा टाकावा लागतो. त्याचा आकार तुम्ही बारकाईने बघितला का? त्यात सहा चौकोनी पृष्ठभाग असून सगळे पृष्ठभाग सारख्या आकाराचे असतात. थोडं पुढं जाऊन असही म्हणता येईल की, या आकृतीत लांबी, रुंदी व उंची या सर्वांची मापे सारखी असतात. अशी वैशिष्ट्ये धारण करणारा असा मी घन आहे.
     
माझ्या शरीराचा आकार हा सर्व दिशांनी अथवा बाजूंनी सपाट व सारखा आहे. माझ्या आकारामध्ये असणा-या गोष्टी ह्या तळ, उंची व लांबी होत. या गोष्टी नेहमी समान असतात. मला तुम्ही कसेही ठेवा वा फिरवा माझ्यामध्ये तुम्हाला ह्या वरील गोष्टी दिसून येणारच. समजा तुम्ही मला एका जागेवर स्थिर ठेवले आहे. त्यावेळी माझा तळ हा पायाची भूमिका बजावतो. उभी दिशा उंची व बाजूची दिशा ही लांबी दर्शविते.

    मला तुम्ही समोरून पाहता त्यावेळी मी चौकोनी आकार असलेल्या आकृतीप्रमाणे दिसतो. माझ्या शरीराचा विचार केला तर माझ्यामध्ये मुख्य शिरोबिंदू, कडा (रेषाखंड) व कोन हे भाग आढळून येतात. माझ्या शरीरात 8 शिरोबिंदू, 12 कडा व 24 कोन आहेत. माझे शरीर सपाट पृष्ठभागाचे असून एकूण सहा पृष्ठभागानी व्यापलेले आहे. हे पृष्ठभाग एकासमोर एक असून ते समांतर आहेत. याचाच अर्थ असा होतो की, संमुख पृष्ठे (समोरसमोरील पृष्ठे ) परस्परांना समांतर आहेत. आपण त्यापैकी एक पृष्ठभाग गृहित धरू. जो पृष्ठभाग गृहित धरला आहे तो चौकोनाकृती असणार आहे. आपणाला या चौकोनाकृती भागाचे क्षेत्रफळ माहीत करावे लागणार आहे. चौकोनाकृती भागाचे क्षेत्रफळ हे लांबी व रूंदी यांच्या गुणाकाराएवढे असते हे आपणास माहीत आहे. याठिकाणी माझ्या शरीराच्या सर्व बाजू समान असल्यामुळे येथे लांबी व रूंदी एकच असणार आहे. या प्रमाणे इतर पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ काढता येईल. ते काढल्यावर तुम्हाला त्याच्या बेरजेने संपूर्ण शरीराचे क्षेत्रफळ मिळेल. याला माझ्या शरीराचे पृष्ठफळ या नावाने संबोधले जाईल.


माझे तुम्हाला पृष्ठफळ काढावयाचे झाले तर तुम्हाला प्रथम माझा आकार असणारी वस्तू घ्यावी लागेल. ती वस्तू उघडली की माझा आकार तुम्हाला जास्त लवकर व्यवस्थितपणे  समजेल. त्यासाठी प्रथम एक चौकोनाकृती आकाराची कोणतीही कागदी वस्तू घ्यावयाची. आकृतीत दाखविल्याप्रमाणे ती वस्तू धरावयाची. आपणास ती आयता सारखी जाणवेल. मग आपण ती उलगडवायची. त्याचे योग्य रीत्या निरीक्षण करावयाचे. आपणास असे दिसेल की यात सहा चौरस आहेत. या सर्व चौरसांचे क्षेत्रफळ म्हणजेच घनाचे क्षेत्रफळ होय.


सर्व पृष्ठभाग समान आहेत. याचाच अर्थ असा की लांबी, रूंदी व उंची यांची किंमत सारखी आहे. त्यामुळे येथे लांबी ऐवजी बाजू हा शब्दप्रयोग वापरून आपण सूत्र तयार करू. सर्व पृष्ठभाग समान असल्यामुळे या ठिकाणी एका पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ घ्यावे लागेल. त्या क्षेत्रफळाला सहाने गुणल्यास येणारे क्षेत्रफळ हे माझे एकूण क्षेत्रफळ वा पृष्ठफळ असेल. यावरून माझ्या शरीराच्या पृष्ठफळाचे खालील प्रमाणे सूत्र तयार करता येते.

घनाचे पृष्ठफळ = 2(लांबीXलांबी + लांबीXलांबी + लांबीXलांबी).
                  = 2(3 X लांबी2)
        = 6 X लांबी2
घनाचे पृष्ठफळ = 6 X बाजू2
वरील सूत्रांवरून माझे एकूण पृष्ठफळ काढता येते. आता आपण एक उदाहरण पाहू.
एक बंदिस्त घन आकाराचे लाकडी खोका आहे. या खोक्याला बाहेरील बाजूने सनमाईका लावावयाचा आहे. त्या खोक्याची बाजू जर 7 सेमी असेल तर त्याला किती क्षेत्रफळाचा सनमाईका लागेल?
सनमाईकाचे क्षेत्रफळ काढण्यासाठी आपणाला खोक्याचे संपूर्ण पृष्ठभागाचे पृष्ठफळ काढावे लागेल. ते वरील सुत्राचा वापर करून काढूया.
\ घनाचे पृष्ठफळ = 6 X बाजू2
                   = 6 X 72
                   = 6 X 49
  घनाचे पृष्ठफळ = 294 चौ.सेमी.
\ बंदिस्त लाकडी खोक्याला सनमाईका लावण्यासाठी 294 चौ. सेमी पृष्ठभागाचा सनमाईकाचा उपयोग करावा लागेल.

अशाप्रकारे आपण कोणत्याही माझ्या सारख्या दिसणार्‍या/घनाकृती आकाराच्या वस्तूचे क्षेत्रफळ अथवा पृष्ठफळ काढू शकतो. त्यासाठी आवश्यकता आहे फक्त पृष्ठफळाचे सूत्र माहीत असण्याची.

माझे शरीर जर भरीव असेल तर मला तयार करण्यासाठी किती पदार्थ लागेल हे ठरविण्यासाठी माझे घनफळाद्वारे मापन करता येईल. त्यासाठी वर उल्लेख केलेल्या क्षेत्रफळाच्या सूत्राचा उपयोग करावा लागणार आहे. माझ्या तळाचे क्षेत्रफळ पृष्ठभागाची लांबी व उंची यांचा गुणाकार केल्याने मिळेल. या किंमतीला उंचीने गुणले की माझे घनफळ मिळेल. परंतु या ठिकाणी माझे सर्व बाजूचे माप एकच अर्थात समान आहे.  म्हणून लांबी = रूंदी = उंची = बाजू

\ घनाचे घनफळ = तळभागाचे पृष्ठफळ X उंची.
                   = बाजू X बाजू X बाजू.
\ घनाचे घनफळ = बाजू3

घनफळावर आधारित आपण एक उदाहरण घेऊ या.
घन आकाराची एक पाण्याची टाकी आहे. तिच्या एका बाजूचे माप 1.2 मी असेल तर त्यात किती पाणी मावेल?

पाण्याचे आकारमान ठरविण्यासाठी टाकीचे घनफळ काढावे लागेल.

   टाकीचे घनफळ = बाजू3
                   = (1.2 मी)3
   टाकीचे घनफळ = 1.728 घनमी

टाकीमध्ये 1.728 घनमी एवढे पाणी मावेल.
* श्री. संभाजी बाळासो डोईफोडे
संग्राहक:शेवाळकर आर.पी.