- लिंक मिळवा
- ईमेल
- अन्य अॅप्स
- लिंक मिळवा
- ईमेल
- अन्य अॅप्स
संख्या प्रणाली हा प्राथमिक गणित चा एक अतिशय महत्त्वाचा विषय आहे, प्रत्येक वर्षी विविध परीक्षांमधून मोठ्या संख्येनी या विषयावर थेट प्रश्न विचारले जातात. दरवर्षी CDS परीक्षेत 15-18% प्रश्न हे संख्या प्रणाली मधून असतात.
नैसर्गिक संख्या (Natural Numbers): शून्य वगळता सर्व मोजता येणार्या संख्या म्हणजे नैसर्गिक संख्या होय.
उदा. 1,2,3,4,5,…
संपूर्ण संख्या (Whole Numbers): सर्व नैसर्गिक संख्या आणि शून्य म्हणजे संपूर्ण संख्या होय.
उदा. 0,1,2,3,4,5,…..
पूर्णांक ( Integers) : सर्व संपूर्ण संख्या आणि त्याचे ऋण रूपात असलेल्या संख्या यांना पूर्णांक (Integers) असे म्हटले जाते. पूर्णांक 'I' या अक्षराद्वारे दर्शविले जाते.
उदा. …….-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4…..,
0 ही धन (+ve) संख्या अथवा ऋण (-ve) संख्या सुद्धा नाही आहे.
सम संख्या (Even numbers): सर्व नैसर्गिक संख्या ज्याला 2 ने भाग दिला जाऊ शकतो अश्या संख्यांना सम संख्या असे म्हणतात.
उदा. 2,4,6,8,10,12,14,….. इ.
विषम क्रमांक (Odd numbers): सर्व नैसर्गिक संख्या, ज्याला 2 ने भाग दिला जाऊ शकत नाही अश्या संख्यांना विषम संख्या म्हणतात.
उदा. 1,3,5,7,9,11,….. इ
अविभाज्य/मूळ संख्या (Prime numbers): ज्या संख्येचे फक्त दोन गुणक (factors) असतात त्या संख्येला अविभाज्य/मूळ संख्या असे म्हणतात. या गुणकांमध्ये 1 आणि ती स्वतः संख्या असते.
उदा. 2,3,5,7,9 .....
* 1 ही मूळ संख्या नाही.
सह-अविभाज्य (Co-primes): दोन नैसर्गिक संख्यांना
Co-primes असल्याचे म्हटले जाते, ज्यांचे HCF हे नेहमी 1 असते.
उदा. (3,5), (11,12), (24,25), इ
* Co-primes संख्या या अविभाज्य संख्या असू शकतात किंवा नसू शकतात.
* दोन एकापाठोपाठ असलेल्या संख्या नेहमी co-primes असतात.
संयुक्त संख्या (Composite Numbers): हे एक धन पूर्णांक (positive integer) आहे ज्यासाठी, एखादी संख्या आणि संख्या स्वतः यामध्ये किमान एकतरी धन विभाजक असायला हवे. मूळ संख्या वगळता, सर्व संख्या संयुक्त संख्या आहेत.
उदा. 4,6,9,10,12,14, इ.
* 1 ही संख्या संयुक्त किंवा मूळ संख्या नाही.
परिमेय संख्या (Rational Numbers): एखादी संख्या जर p/q या स्वरूपात व्यक्त केली जाऊ शकते, तर त्या संख्येला परिमेय संख्या असे म्हणतात, यामध्ये p आणि q हे पूर्णांक आहेत आणि .
उदा. 3,-4,7, इ.
अपरिमेय संख्या (Irrational Numbers): एखादी संख्या जर p/q या स्वरूपात व्यक्त केली जाऊ शकत नाही, तर त्या संख्येला अपरिमेय संख्या असे म्हणतात, यामध्ये p आणि q हे पूर्णांक आहेत आणि .
उदा. इ
‘pi’ ही अपरिमेय संख्या आहे, कारण 22/7 हे pi चे प्रत्यक्ष मूल्य नाही आहे.
वास्तवीक संख्या (Real Numbers): वास्तविक संख्या यामध्ये परिमेय आणि अपरिमेय संख्या दोन्ही चा समावेश आहे.
उदा. 4, ,7,-5, इ
संख्या चे गुणधर्म:
1. विनिमेय गुणधर्म (Commutative Property): या गुणधर्माप्रमाणे आपण कोणत्याही क्रमाने संख्यांची बेरीज आणि गुणाकार करू शकतो.
(i) a + b + c = b + a + c
उदा. 3 + 5 + 6 = 5 + 3 + 6
डाव्या बाजूला 3 आणि 5 ची बेरीज केल्या असता आपल्याला 8 मिळेल.
उजव्या बाजूला 5 आणि 3 ची बेरीज केल्या असता आपल्याला 8 मिळेल.
8 + 6 = 6 + 8
14 = 14
LHS व RHS दोन्ही समान आहेत.
(ii) axbxc = bxcxa
5 x 6 x 7 = 6 x 7 x 5
डाव्या बाजूला 5 आणि 6 चा आधी गुणाकार केल्या असता आपल्याला 30 मिळेल आणि 30 ला 7 ने गुणाकार करता 210 मिळतात.
5 x 6 x 7 = 30 x 7 = 210
उजव्या बाजूला 6 आणि 7 चा आधी गुणाकार केल्या असता आपल्याला 42 मिळेल आणि 42 ला 5 ने गुणाकार करता 210 मिळतात.
6 x 7 x 5 = 42 x 7 = 210
म्हणजेच, LHS व RHS दोन्ही समान आहेत.
2. एकरूप गुणधर्म (Associative Property): एकाच वेळी दोन संख्येसोबत बेरीज व गुणाकार हे दोन्ही केले जाऊ शकते.
(i) a +(b + c)= (a + b) +c
उदा. 5 + (6 + 8) = (5 + 6) + 8
5 + 14 = 11 + 8
19 = 19
त्यामुळे सिद्ध होते की, LHS व RHS दोन्ही समान आहेत.
(ii) ax (b x c) = (a x b) x c
Ex. 5 x (6 x 8) = (5 x 6) x 8
5 x 48 = 30 x 8
240 = 240
म्हणजेच, LHS व RHS दोन्ही समान आहेत.
3. वितरन गुणधर्म (Distributive Property): यामध्ये दोन संख्येची बेरीज जर तिसर्याशी गुणाकार केली असता ती संख्या, आणि बेरजेमध्ये गुणकारची संख्या वितरित करून मिळालेली संख्या समान असते.
a x (b +c) = a x b + a x c
उदा. 5 x (6 + 8) = 5 x 6 + 5 x 8
5 x 14 = 30 + 40
70 = 70
म्हणजेच, LHS व RHS दोन्ही समान आहेत.
4. समानता गुणधर्म (Identity property): या गुणधर्मामध्ये, एखाद्या संख्येमध्ये शून्य बेरीज केले असता, आपल्याला तीच संख्या मिळते. शून्य ला यामुळे "बेरजात्मक समानता (additive identity)" म्हटले आहे. गुणाकार साठी समानता गुणधर्म असा आहे की, कोणत्याही संख्येसह 1 ने गुणाकार केले असता आपल्याला तीच संख्या मिळते. त्यामुळे 1 ला "गुणाकारात्मक समानता (multiplicative identity)" म्हटले आहे.
उदा. a +0 = a
a.1 = a
5. बेरजात्मक प्रतिलोम (Additive Inverse): संख्या 'a' चे बेरजात्मक प्रतिलोम ही एक संख्या असते, जेव्हा ती संख्या 'a' सोबत बेरीज केली जाते त्यावेळी आपल्याला शून्य मिळते. या संख्येला उलट (संख्या), चिन्ह बदल, विरुद्ध (negation) म्हणून ओळखले जाते.
उदा. a + (-a) = 0.
6. गुणाकारात्मक प्रतिलोम (Multiplicative Inverse): याला a चा व्युत्क्रम (reciprocal) असे म्हणतात, याला 1/a किंवा a .
उदा. a.1/a = 1
नैसर्गिक संख्या (Natural Numbers): शून्य वगळता सर्व मोजता येणार्या संख्या म्हणजे नैसर्गिक संख्या होय.
उदा. 1,2,3,4,5,…
संपूर्ण संख्या (Whole Numbers): सर्व नैसर्गिक संख्या आणि शून्य म्हणजे संपूर्ण संख्या होय.
उदा. 0,1,2,3,4,5,…..
पूर्णांक ( Integers) : सर्व संपूर्ण संख्या आणि त्याचे ऋण रूपात असलेल्या संख्या यांना पूर्णांक (Integers) असे म्हटले जाते. पूर्णांक 'I' या अक्षराद्वारे दर्शविले जाते.
उदा. …….-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4…..,
0 ही धन (+ve) संख्या अथवा ऋण (-ve) संख्या सुद्धा नाही आहे.
सम संख्या (Even numbers): सर्व नैसर्गिक संख्या ज्याला 2 ने भाग दिला जाऊ शकतो अश्या संख्यांना सम संख्या असे म्हणतात.
उदा. 2,4,6,8,10,12,14,….. इ.
विषम क्रमांक (Odd numbers): सर्व नैसर्गिक संख्या, ज्याला 2 ने भाग दिला जाऊ शकत नाही अश्या संख्यांना विषम संख्या म्हणतात.
उदा. 1,3,5,7,9,11,….. इ
अविभाज्य/मूळ संख्या (Prime numbers): ज्या संख्येचे फक्त दोन गुणक (factors) असतात त्या संख्येला अविभाज्य/मूळ संख्या असे म्हणतात. या गुणकांमध्ये 1 आणि ती स्वतः संख्या असते.
उदा. 2,3,5,7,9 .....
* 1 ही मूळ संख्या नाही.
सह-अविभाज्य (Co-primes): दोन नैसर्गिक संख्यांना
Co-primes असल्याचे म्हटले जाते, ज्यांचे HCF हे नेहमी 1 असते.
उदा. (3,5), (11,12), (24,25), इ
* Co-primes संख्या या अविभाज्य संख्या असू शकतात किंवा नसू शकतात.
* दोन एकापाठोपाठ असलेल्या संख्या नेहमी co-primes असतात.
संयुक्त संख्या (Composite Numbers): हे एक धन पूर्णांक (positive integer) आहे ज्यासाठी, एखादी संख्या आणि संख्या स्वतः यामध्ये किमान एकतरी धन विभाजक असायला हवे. मूळ संख्या वगळता, सर्व संख्या संयुक्त संख्या आहेत.
उदा. 4,6,9,10,12,14, इ.
* 1 ही संख्या संयुक्त किंवा मूळ संख्या नाही.
परिमेय संख्या (Rational Numbers): एखादी संख्या जर p/q या स्वरूपात व्यक्त केली जाऊ शकते, तर त्या संख्येला परिमेय संख्या असे म्हणतात, यामध्ये p आणि q हे पूर्णांक आहेत आणि .
उदा. 3,-4,7, इ.
अपरिमेय संख्या (Irrational Numbers): एखादी संख्या जर p/q या स्वरूपात व्यक्त केली जाऊ शकत नाही, तर त्या संख्येला अपरिमेय संख्या असे म्हणतात, यामध्ये p आणि q हे पूर्णांक आहेत आणि .
उदा. इ
‘pi’ ही अपरिमेय संख्या आहे, कारण 22/7 हे pi चे प्रत्यक्ष मूल्य नाही आहे.
वास्तवीक संख्या (Real Numbers): वास्तविक संख्या यामध्ये परिमेय आणि अपरिमेय संख्या दोन्ही चा समावेश आहे.
उदा. 4, ,7,-5, इ
संख्या चे गुणधर्म:
1. विनिमेय गुणधर्म (Commutative Property): या गुणधर्माप्रमाणे आपण कोणत्याही क्रमाने संख्यांची बेरीज आणि गुणाकार करू शकतो.
(i) a + b + c = b + a + c
उदा. 3 + 5 + 6 = 5 + 3 + 6
डाव्या बाजूला 3 आणि 5 ची बेरीज केल्या असता आपल्याला 8 मिळेल.
उजव्या बाजूला 5 आणि 3 ची बेरीज केल्या असता आपल्याला 8 मिळेल.
8 + 6 = 6 + 8
14 = 14
LHS व RHS दोन्ही समान आहेत.
(ii) axbxc = bxcxa
5 x 6 x 7 = 6 x 7 x 5
डाव्या बाजूला 5 आणि 6 चा आधी गुणाकार केल्या असता आपल्याला 30 मिळेल आणि 30 ला 7 ने गुणाकार करता 210 मिळतात.
5 x 6 x 7 = 30 x 7 = 210
उजव्या बाजूला 6 आणि 7 चा आधी गुणाकार केल्या असता आपल्याला 42 मिळेल आणि 42 ला 5 ने गुणाकार करता 210 मिळतात.
6 x 7 x 5 = 42 x 7 = 210
म्हणजेच, LHS व RHS दोन्ही समान आहेत.
2. एकरूप गुणधर्म (Associative Property): एकाच वेळी दोन संख्येसोबत बेरीज व गुणाकार हे दोन्ही केले जाऊ शकते.
(i) a +(b + c)= (a + b) +c
उदा. 5 + (6 + 8) = (5 + 6) + 8
5 + 14 = 11 + 8
19 = 19
त्यामुळे सिद्ध होते की, LHS व RHS दोन्ही समान आहेत.
(ii) ax (b x c) = (a x b) x c
Ex. 5 x (6 x 8) = (5 x 6) x 8
5 x 48 = 30 x 8
240 = 240
म्हणजेच, LHS व RHS दोन्ही समान आहेत.
3. वितरन गुणधर्म (Distributive Property): यामध्ये दोन संख्येची बेरीज जर तिसर्याशी गुणाकार केली असता ती संख्या, आणि बेरजेमध्ये गुणकारची संख्या वितरित करून मिळालेली संख्या समान असते.
a x (b +c) = a x b + a x c
उदा. 5 x (6 + 8) = 5 x 6 + 5 x 8
5 x 14 = 30 + 40
70 = 70
म्हणजेच, LHS व RHS दोन्ही समान आहेत.
4. समानता गुणधर्म (Identity property): या गुणधर्मामध्ये, एखाद्या संख्येमध्ये शून्य बेरीज केले असता, आपल्याला तीच संख्या मिळते. शून्य ला यामुळे "बेरजात्मक समानता (additive identity)" म्हटले आहे. गुणाकार साठी समानता गुणधर्म असा आहे की, कोणत्याही संख्येसह 1 ने गुणाकार केले असता आपल्याला तीच संख्या मिळते. त्यामुळे 1 ला "गुणाकारात्मक समानता (multiplicative identity)" म्हटले आहे.
उदा. a +0 = a
a.1 = a
5. बेरजात्मक प्रतिलोम (Additive Inverse): संख्या 'a' चे बेरजात्मक प्रतिलोम ही एक संख्या असते, जेव्हा ती संख्या 'a' सोबत बेरीज केली जाते त्यावेळी आपल्याला शून्य मिळते. या संख्येला उलट (संख्या), चिन्ह बदल, विरुद्ध (negation) म्हणून ओळखले जाते.
उदा. a + (-a) = 0.
6. गुणाकारात्मक प्रतिलोम (Multiplicative Inverse): याला a चा व्युत्क्रम (reciprocal) असे म्हणतात, याला 1/a किंवा a .
उदा. a.1/a = 1
- लिंक मिळवा
- ईमेल
- अन्य अॅप्स
टिप्पण्या
टिप्पणी पोस्ट करा