- लिंक मिळवा
- ईमेल
- अन्य अॅप्स
- लिंक मिळवा
- ईमेल
- अन्य अॅप्स
MPSCmaths:
घटक - *काम , काळ , वेळ*
*उदाहरणे सोडवण्याची सोपी पद्धती व tricks*
============================
काम , कामगार , दिवस , तास ....
या चार बाबी वर प्रश्न असतील तर फक्त एकच सुञ लक्षात ठेवा....!!!
M1×D1×T1×W2 = M2×D2×T2×W1
यामध्ये .....
M = माणसे
D = दिवस
T = तास
W = काम
1 & 2 हे पहिल्या वेळी व दुसऱ्या वेळी साठी वापरा....!!!
🔸 प्रत्येक गणितात वरील 4 ही घटक असतीलच असेही नाही .
कधी 2 घटक असतील....
कधी 3 घटक असतील...
कधी 4 घटक असतील...
सुत्र माञ एकमेवच वापरा...👍🏻👍🏻
🔹 जो घटक सुञात नाही तो नाही लिहला तरी चालतो.
===========================
( पुढील प्रश्न *फक्त copy paste* आहे . *स्पष्टीकरण copy paste नाही*)
सराव प्रश्न 001 *32 माणसे दररोज 6 तास काम करून एक काम 15 दिवसांत पूर्ण करतात. 40 माणसांना दररोज 8 तासाप्रमाणे काम करून हे काम पूर्ण करायला किती दिवस लागतील ?*
पर्याय ...
*1) 6 2) 7 3) 8 4) 9*
स्पष्टीकरण .....1891....
M1= 32 , T1= 6 , D1= 15
M2 = 40 T2 = 8 , D2= ?
W दिले नाही म्हणून लिहु ही नका...
सुञ....
M1× D1× T1 = M2×D2×T2
32×15×6 = 40 ×D2 × 8
32 × 15 × 6
D2 = -----------------------
40 × 8
D2 = 9 दिवस ✅
============================
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
🏮 काळ, काम व वेग 🏮
==============
1) काळ व काम : - एखादे काम पूर्ण करण्यास लागणारा काळ (वेळ) ते काम करीत असलेल्या व्यक्तींच्या संख्येवर अवलंबून असतो.
2) काम आणि लागणारा काळ (वेळ) हे सम चलनात असते.
3) काम करणाऱ्या संख्या व लागणारा काळ (वेळ) हे व्यस्त चलनात असते.
✔सुत्रे :
1) अंतर = वेग × वेळ
अंतर
2) वेग = ----------
वेळ
अंतर
3) वेळ = -----------
वेग
============================
*आगगाडी किंवा रेल्वे साठी सुञ*
आगगाडी किंवा रेल्वे साठी चे गणित सोडवण्यासाढी वेग हा km व वेळ ही तासात दिलेली असते. परंतु रेल्वे व आगगाडी एकमेकांना ओलांडून जाते हे उत्तर मीटर -सेकंद मध्ये असते म्हणून त्या साठी पुढील सुञ तयार होतात.
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
एक रेल्वे जिची लांबी X मीटर आहे. व वेग vKm/h आहे.एक विचेजा खांब ओलांडून जाण्यासाठी लाग वेळ....
18 X
वेळ = ------ × --------
5 v
◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇
एक रेल्वे X मीटर लांब व एक पुल Y मीटर लांब वेग v Km/h असेल तर पुल ओलांडून जाण्यासाठी लागणारा वेळ....
18 ( X + Y )
वेळ = ------ × -----------------
5 v
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
दोन रेल्वे अनुक्रमे लांबी X मीटर व Y मीटर आहे . वेग अनुक्रमे v Km/h व u Km/h आहे.
( v > u ) असेल .....
✏ एकाच दिशेने जात असातील तर ओलांडून जाण्यासाठी लागणारा वेळ....
18 ( X + Y )
वेळ = -------- × -----------------
5 ( v - u )
एक मेकाच्या विरूद्ध दिशेला जात असतील तर ओलांडून जाण्यासाठी लागणारा वेळ ....
18 ( X + Y )
वेळ = ------- × ----------------
5 ( v + u )
●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●
रेल्वे वरील उदाहरणे सोडविताना एकक सारखे करणे गरजेचे असते. कारण दिलेला वेग हा किलोमीटर प्रती तास असतो, व काळ / वेळ सेकंदात आणि रेल्वेची लांबी (अंतर) मीटर मध्ये दिलेले असते. म्हणून वेगाचे रुपांतर मीटर प्रती सेकंद करावे लागते, त्या साठी वेगळा ५ / १८ ने गुणावे.
याउलट जर मीटर प्रती सेकंद चे रुपांतर किलोमीटर प्रती तास करावयाचे असेल तर वेगळा १८ / ५ ने गुणावे.
जर दोन ट्रेन एकाच दिशेला धावत असतील तर त्याच्या वेगांची वजाबाकी करावी व आलेला वेग आकडेमोड करण्यासाठी वापरावा.
जर दोन ट्रेन विरुद्ध दिशेला धावत असतील तर त्याच्या वेगांची बेरीज करावी व आलेला वेग आकडेमोड करण्यासाठी वापरावा.
वरील दोन्ही प्रकारात ट्रेन च्या लांबीची बेरीजच करावी.
●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●
Que: Arun works thrice as fast as Mani. If Mani alone completes the work in 48 days, then in how many days Arun and Mani together can complete the work?
A 16 days
B 20 days
C 12 days
D 8 days
E 18 days
Correct Answer = C
Explanation.
Ratio of work efficiencies of Arun and Mani = 3 : 1 ( ? Arun works thrice as fast as Mani )
Ratio of Time Taken to complete same unit of work by Arun to Mani = 1 : 3 ( ? Time taken will be inversely proportional to Efficiency )
Mani completes the work = 48 days.
Mani 1 day work = 1 / 48
Arun can complete the same work = 16 days ( ? 48 / 3 = 16 )
As he is 3 times more efficient than Mani.
Arun 1 day work = 1 / 16
Work that can be completed by Mani and Arun when working together for a day = ( 1 / 48 ) + ( 1 / 16 )
= ( 1 + 3 ) / 48
= 4 / 48
= 1 / 12
Arun and Mani together can complete the work in 12 days.
🔹Digital root
*संबोध व संकल्पना*
___________________
============================
*Digital root संबोध व व्याख्या*
🔶Digital root -
आधी आपण Digital Root ची व्याख्या पाहुयात.....
*दिलेल्या संख्यातील अंकातील अंकाची बेरीज एक अंक येईपर्यंत करत जाने म्हणजे च त्या संख्या चे Digital Root होय*
☄ उदाहरणार्थ ....
567 = 5 + 6 + 7 = 18 = 1+8 = 9
*म्हणजे 567 चे Digital root 9 होय*
8956 = 8 + 9 + 5 + 6
= 28
= 2 + 8
= 10
= 1 + 0
= 1
*म्हणजे 8956 चे digital root 1 होय*
============================
*Example*...........
*How many three-digit numbers are having their digital root equal to 3* ?
*(e.g.).111 , 120 , ...... 993*
🔶 *आता वरील प्रश्न पाहुयात*
तीन अंकी संख्या शोधायच्या आहेत ज्यांची Digital root 3 आहे.
☄☄☄☄ *सुत्र* ☄☄☄☄
*Digital root 3 असणाऱ्या संख्या*
= *9n + 3*
[ n = 0, 1 , 2 ,3 .......]
*पहिली लहानात लहान तीन अंकी शोधण्यासाठी निरीक्षण करून आपणास....*
= 9n + 3
= 9 × 11 + 3
= 99 + 3
= 102 ✅....1 + 0 + 2 = 3
*मोठ्यात मोठी तीन अंकी संख्या*
= 9n + 3
= 9 × 110 + 3
= 990 + 3
= 993 ✅...9+9+3 =21 = 2+1= 3
म्हणजे च.....
पहिली संख्या n = 11 व शेवटची n = 110
*म्हणून एकूण संख्या - 100*
===========================
☄☄ *महत्त्वाचे* ☄☄
*Digital root सुञ*
========== ========
1 9n + 1
2 9n + 2
3 9n + 3
4 9n + 4
5 9n + 5
6 9n + 6
7 9n + 7
8 9n + 8
9 9n
*[ n = 0, 1, 2, 3, ...........]*
============================
🔶 *मोठ्या संख्या चे Digital root*
*Steps*.....
☄ *दिलेल्या संख्या स 9 ने भाग घाला*.
☄ *बाकी किती राहते ते शोधा*.
☄ *जेवढी बाकी शिल्लक असेल तेवढे त्या संख्या चे Digital root होय*
☄☄ *उदाहरणार्थ* ☄☄
प्रश्न . 567834 चे Digital root किती ?
*स्पष्टीकरण*
567834 ला 9 भे भाग घालू यात.
567834
= ------------------
9
= 63092 बाकी = 6
*बाकी 6 आली म्हणजे 567834 चे Digital root 6 होय*
🔹संख्या व संख्याचे प्रकार
N संख्यांची सरासरी = दिलेल्या संख्यांची बेरीज / n, n = एकूण संख्या
क्रमश: संख्यांची सरासरी ही मधली संख्या असते.
उदाहरणार्थ – 12, 13, [14], 15, 16 या संख्या मालेतील संख्यांची सरासरी = 14
संख्यामाला दिल्यावर ठरावीक संख्यांची (n) सरासरी काढण्यासाठी
n या क्रांश: संख्यांची सरासरी = (पहिली संख्या + शेवटची संख्या) / 2
उदा. 1) क्रमश: 1 ते 25 अंकांची सरासरी = 1+25/2 = 26/2 = 13
1 ते 20 पर्यंतच्या सर्व विषम संख्यांची सरासरी =1+19/2 =20/2 =10
N या क्रमश: संख्यांची बेरीज = (पहिली संख्या + शेवटची संख्या) x n/ 2
उदा.
1) 1 ते 100 अंकांची बेरीज = (1+100)x20/2 = 81x20/2 = 810
(31 ते 50 संख्यांमध्ये एकूण 20 संख्या येतात. यानुसार n = 20)
नमूना पहिला –
उदा.
चार क्रमवार सम संख्यांची सरासरी 35 आहे, तर त्यापैकी सर्वात लहान संख्या कोणती?
32
30
34
28
उत्तर : 32
क्लृप्ती :-
सरासरी संख्या ही क्रमवार संख्यांच्या मधली संख्या असते.
32, 34, [35], 36, 38
नियम –
क्रमश: असलेल्या अंकांची सरासरी = (पहिली संख्या+शेवटची संख्या) ÷ 2
वरील सूत्रानुसार 1+20/2 = 10.5, 1+10/2 = 5.5
यावरून (10.5-5.5) = 5
नमूना दूसरा –
उदा.
क्रमश: 1 ते 100 अंकांची बेरीज किती?
5050
10050
10100
2525
उत्तर : 5050
क्लृप्ती :
क्रमश: संख्यांची बेरीज = सरासरी × एकूण संख्या = 1+100/2 ×100 किंवा
= 101×100/2 = 101×50 = 5050
नमूना तिसरा-
उदा.
35, 39, 45, 36, आणि 4* या दोन अंकी संख्यांची सरासरी 39 आहे; तर शेवटच्या संख्येतील एकक स्थानचा * च्या जागे वरील अंक कोणता?
3
5
0
7
उत्तर : 0
क्लृप्ती :
सरासरी = 39 [मधली संख्या (35 36 39 45 4*)]
एकूण = 39×5 = 195
एकक स्थानी 5 येण्यास 5+9+5+6+* = 25 = 0 = 25
0+5 = 5
:: * = 0
नमूना चौथा –
उदा.
क्रमश: पाच विषम संख्यांची सरासरी 37 आहे. त्यापुढील 5 विषम संख्यांची सरासरी 47 आहे; तर त्या दहाही संख्याची सरासरी किती?
44
43
42
40
उत्तर : 42
क्लृप्ती :
एकूण संख्यांची सरासरी = सरसरींची बेरीज / एकूण संख्या (N) 37+47/2 = 42
नमूना पाचवा –
उदा.
एका नावेत सरासरी 22 कि.ग्रॅ. वजनाची 25 मुले बसली. नावाड्यासह सर्वाचे सरासरी वजन 24 कि.ग्रॅ. झाले तर नावाड्याचे वजन किती?
74 कि.ग्रॅ.
71 कि.ग्रॅ.
75 कि.ग्रॅ.
100 कि.ग्रॅ.
उत्तर : 74 कि.ग्रॅ.
नावाड्याचे वजन = (सरासरीतील फरक × विधार्थ्यांची संख्या) + नवीन सरासरी
क्लृप्ती :
सरसरीतील फरक = 24 -22 2×25.
नावाड्याचे वजन = 50+24 = 74
नमूना सहावा –
उदा.
एका वर्गातील सर्व मुलांच्या वयांची सरासरी 15 वर्षे आहे. त्यापैकी 15 मुलांच्या वयांची सरासरी 12 वर्षे आहे व उरलेल्या मुलांची सरासरी 16 वर्षे आहे, तर त्या वर्गात एकूण मुले किती?
60
45
40
50
उत्तर : 60
स्पष्टीकरण :-
15 मुलांच्या वयांची सरासरी एकूण मुलांच्या सरासरी पेक्षा 3 ने कमी व उरलेल्या मुलांच्या वयाची सरासरी 1 ने जास्त आहे. एकूण भरून काढावयाची वर्षे = 3×15 विधार्थी = 45 वर्षे
उरलेल्या विधार्थ्यांपैकी 1 विधार्थी 1 वर्ष भरून काढतो.
उरलेले विधार्थी = 1×45 = 45 विधार्थी
:: एकूण विधार्थी = 45+15 = 60 विधार्थी
नमूना सातवा –
उदा.
एका दुकानदाराची 30 दिवसांची सरासरी विक्री 155 रु. आहे पहिल्या 15 दिवसांची सरासरी विक्री 190 रु. असल्यास; नंतरच्या 15 दिवसांची एकूण विक्री किती?
285
2375
1800
1950
उत्तर : 1800
क्लृप्ती : -
(155 – सरसरीतील फरक)×15
= (155-35)×15
= 120×15
= 1800
नमूना आठवा –
उदा.
ताशी सरासरी 60 कि.मी. वेगाने जाणारी आगगाडी निर्धारित ठिकाणी निर्धारित वेळेत पोहचते. जर ती ताशी सरासरी 50 कि.मी. वेगाने गेल्यास ती निर्धारित वेळेपेक्षा 30 मिनिटे उशीरा पोहचते. तर तिने कापावयाचे एकूण अंतर किती?
300 कि.मी.
150 कि.मी.
450 कि.मी.
यापैकी नाही
उत्तर : 150 कि.मी.
स्पष्टीकरण :-
एकूण अंतर x मानू
∷x/50-x/60=30/60
∶:(6x-5x)/300=1/2
x= 300/2
=150 कि.मी.
🔹घटक - काम काळ व वेग.
सुञ -
1) अंतर = वेग × वेळ
अंतर
2) वेग = ----------
वेळ
अंतर
3) वेळ = -----------
वेग
======================
✏आगगाडी किंवा रेल्वे साठी सुञ.✏
🚝🚝🚈🚈🚈...आगगाडी किंवा रेल्वे साठी चे गणित सोडवण्यासाढी वेग हा km व वेळ ही तासात दिलेली असते. परंतु रेल्वे व आगगाडी एकमेकांना ओलांडून जाते हे उत्तर मीटर -सेकंद मध्ये असते म्हणून त्या साठी पुढील सुञ तयार होतात.
📙📙📙📙📙📙📙📙📙📙
एक रेल्वे जिची लांबी X मीटर आहे. व वेग vKm/h आहे.एक विचेजा खांब ओलांडून जाण्यासाठी लाग वेळ....
18 X
वेळ = ------ × --------
5 v
📘📘📘📘📘📘📘📘📘📘
एक रेल्वे X मीटर लांब व एक पुल Y मीटर लांब वेग v Km/h असेल तर पुल ओलांडून जाण्यासाठी लागणारा वेळ....
18 ( X + Y )
वेळ = ------ × -----------------
5 v
📒📒📒📒📒📒📒📒📒📒
दोन रेल्वे अनुक्रमे लांबी X मीटर व Y मीटर आहे . वेग अनुक्रमे v Km/h व u Km/h आहे.
( v > u ) असेल .....
✏ एकाच दिशेने जात असातील तर ओलांडून जाण्यासाठी लागणारा वेळ....
18 ( X + Y )
वेळ = -------- × -----------------
5 ( v - u )
✏✏ एक मेकाच्या विरूद्ध दिशेला जात असतील तर ओलांडून जाण्यासाठी लागणारा वेळ ....
18 ( X + Y )
वेळ = ------- × ----------------
5 ( v + u )
======================
🔹 घटक - घड्याळ
स्पर्धा परीक्षा किंवा अनेक नौकरी साठी घेण्यात येणाऱ्या परीक्षेत घड्याळावर अनेकदा प्रश्न विचारतात त्या साठी काही सुञ आज आपण पाहू या.
🚦 सुञ :-
1) वेळ दिली असता कोन काढणे.
11
= --------- × M - 30 × H
2
M - मिनीट
H - दिलेल्या वेळेत एकूण किती तास आहेत.
2 ) समजा 7 ते 8 च्या दरम्यान किती वाजता तास व मिनीट काटा एकमेकावर येतात.....
सुञ...
60
= ----------- × 7 × 5
55
3) दिवसात किती वेळा तास व मिनीट काटा 90° चा कोन करतात ??
उत्तर - 12 तासात - 22 वेळा.
24 तासात - 44 वेळा.
4) दिवसात किती वेळा तास काटा व मिनीट काटा परस्परांशी विरूद्ध असतात /येतात ?
उत्तर -
12 तासात - 11 वेळा
24 तासात - 22 वेळा.
5 ) एक मिनीट म्हणजे 6° होय.
एक तास म्हणजे 90° होय.
6 ) प्रत्येक तासाला तितकेच ठोके पडत असतील तर दिवसात एकूण ठोके किती पडतात ?
12 × 13
= ---------------- = 78.....12 तासात.
2
24 तासात एकूण ठोल - 156
7 ) 4 ते 5 च्या दरम्यान किती वाजता तास व मिनीट काटा विरुद्ध दिशेला असतील ?
स्पष्टीकरण -
या वेळी मिनीट काटा 10 ते 11 च्या दरम्यान असेल म्हणून ...
M = 10 घ्यावे .
60
= --------- × 5 × M
55
60
= ----------- × 5 × 10
55
600 6
= ----------- = 54 ------
11 11
6
म्हणजे च 4 वाजून 54 ----- मिनीट.
11
8) 5 ते 6 च्या दरम्यान किती वाजता 90 ° चा कोन होईल ?
स्पष्टीकरण -
90 ° चा कोन होण्यासाठी मिनीट काटा 8 च्या पुढे असाला पाहीजे.
म्हणून M = 8 घ्यावे .
60
= ------- × 5 × 8
55
480 7
= ------------- = 43 ------
11 11
म्हणून ... 7
90° चा कोन 5 वाजून 43 ----- मिनीट.
11
=========================
🔹घटक - काम व काळ
स्पर्धा परीक्षा किंवा इतर महत्वाच्या परीक्षा मध्ये पाण्याचा हौद या घटकावर प्रश्न असतात तर त्या दृष्टीने आज आपण सुञ पाहुया.....
🚦 सुञ :-
1) समजा दोन नळाने प्रत्येकी X तासात व Y तासात पाण्याचा हौद भरतो. दोन्ही नळ एकाच वेळी चालू केले तर किती वेळ लागेल...
X × Y
= -----------------
( X + Y )
2) समजा तीन नळाने अनुक्रमे ..X , Y व Z तासात भारतात....एकदाच चालू केले तर लागणारा वेळ....
XYZ
= --------------------------
XY + YZ + ZX
3) समजा एका नळाने भरायला X तास वेळ व दुसऱ्या नळाने रिकामा होण्यासाठी Y तास ...हौद भरण्यासाठी लागणारा वेळ....
X × Y
= ----------------
( Y - X )
4) दोन नळाने भरण्यासाठी X , Y तास लागतील व रिकामा होण्यासाठी Z तास लागतात तर हौद भरण्यासाठी किती वेळ लागेल .....
X × Y × Z
= ------------------------
ZX + ZY - XY
5 )....थोडक्यात किती ही नळ असले भरण्यासाठी किंवा किती ही रिकामा होण्यासाठी खालील एकच सुञ लक्षात ठेवा.....
समजा भरण्यासाठी ...a b c d...तास असणारे नळ आहेत.
रिकामा करण्यासाठी ...k l m n ...तास असणारे नळ आहेत तर लागणारा वेळ ....
1 1 1 1
= ---- + ---- ....... - ---- - --- ....
a b k m
याचे जे उत्तर येईल त्याचे गुणाकार व्यस्त लिहणे म्हणजे च उत्तर होय.
==========================
Average - सरासरी
============================
सरासरी - *दिलेल्या एकूण घटकांची बेरीज भागीले एकूण घटक यांची किंमत म्हणजे सरासरी होय*
*Average - Sum of total components divided by number of components is called average*
*घटकांची बेरीज*
सरासरी = ----------------------------
*एकूण घटक*
*Sum of all comp*
*average = --------------------------*
*No. of comp.*
उदाहरणार्थ ....
सुरेश ला मराठीत 78 गुण मिळाले , हिंदी 82 गुण मिळाले , इंग्रजीत 75 गुण ,गणित 80 गुण विज्ञान 85 गुण, इतिहास -भुगोल 80 गुण मिळाले तर त्याला सरासरी किती गुण मिळाले ?
explanation .......
Total Mark
Average = ---------------------------
Total subject
78 + 82 + 75 + 80 + 85 + 80
= -------------------------------------
6
480
= -----------
6
= 80
म्हणून *सुरेश ला सरासरी 80 गुण मिळाले*
==========================
*Example -2*
*What is average of first 10 nature number ?*
*explanation*-.....
Sum of first 10 N.no
Avarage = ----------------------------
Total number
55
= ----------
10
= 5.5
*Average of first twn natural number is 5.5*
===========================
*example - 3* *नेहमी चुकणारा प्रश्न*
एक गाडी जाताना 20 km/h वेगानं जाते.व परत येताना 30 km/h वेगानं येते तर त्या गाडीचा सरासरी वेग किती ?
*explanation & tricks*......
2 × V1 × V2
सरासरी वेग = ---------------------
V1 + V2
2 × 20 × 30
= ---------------------
20 + 30
= 1200/50
= 24 km/h
म्हणून *सरासरी वेग = 24km/h
========================
*महत्त्वाचे सुत्र*
[ 1 ] पहिल्या N नैसर्गिक संख्या ची सरासरी ....
*Average of first N Natural number is*......
( N + 1)
= --------------
2
[ 2 ] पहिल्या N सम संख्या ची सरासरी ......
*Average of first N even number*
= ( N + 1)
[ 3 ] पहिल्या N विषम संख्या ची सरासरी ......
*Average of first N odd number*....
= N
======================MPSCmaths:
घटक - *काम , काळ , वेळ*
*उदाहरणे सोडवण्याची सोपी पद्धती व tricks*
============================
काम , कामगार , दिवस , तास ....
या चार बाबी वर प्रश्न असतील तर फक्त एकच सुञ लक्षात ठेवा....!!!
M1×D1×T1×W2 = M2×D2×T2×W1
यामध्ये .....
M = माणसे
D = दिवस
T = तास
W = काम
1 & 2 हे पहिल्या वेळी व दुसऱ्या वेळी साठी वापरा....!!!
🔸 प्रत्येक गणितात वरील 4 ही घटक असतीलच असेही नाही .
कधी 2 घटक असतील....
कधी 3 घटक असतील...
कधी 4 घटक असतील...
सुत्र माञ एकमेवच वापरा...👍🏻👍🏻
🔹 जो घटक सुञात नाही तो नाही लिहला तरी चालतो.
===========================
( पुढील प्रश्न *फक्त copy paste* आहे . *स्पष्टीकरण copy paste नाही*)
सराव प्रश्न 001 *32 माणसे दररोज 6 तास काम करून एक काम 15 दिवसांत पूर्ण करतात. 40 माणसांना दररोज 8 तासाप्रमाणे काम करून हे काम पूर्ण करायला किती दिवस लागतील ?*
पर्याय ...
*1) 6 2) 7 3) 8 4) 9*
स्पष्टीकरण .....1891....
M1= 32 , T1= 6 , D1= 15
M2 = 40 T2 = 8 , D2= ?
W दिले नाही म्हणून लिहु ही नका...
सुञ....
M1× D1× T1 = M2×D2×T2
32×15×6 = 40 ×D2 × 8
32 × 15 × 6
D2 = -----------------------
40 × 8
D2 = 9 दिवस ✅
============================
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
🏮 काळ, काम व वेग 🏮
==============
1) काळ व काम : - एखादे काम पूर्ण करण्यास लागणारा काळ (वेळ) ते काम करीत असलेल्या व्यक्तींच्या संख्येवर अवलंबून असतो.
2) काम आणि लागणारा काळ (वेळ) हे सम चलनात असते.
3) काम करणाऱ्या संख्या व लागणारा काळ (वेळ) हे व्यस्त चलनात असते.
✔सुत्रे :
1) अंतर = वेग × वेळ
अंतर
2) वेग = ----------
वेळ
अंतर
3) वेळ = -----------
वेग
============================
*आगगाडी किंवा रेल्वे साठी सुञ*
आगगाडी किंवा रेल्वे साठी चे गणित सोडवण्यासाढी वेग हा km व वेळ ही तासात दिलेली असते. परंतु रेल्वे व आगगाडी एकमेकांना ओलांडून जाते हे उत्तर मीटर -सेकंद मध्ये असते म्हणून त्या साठी पुढील सुञ तयार होतात.
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
एक रेल्वे जिची लांबी X मीटर आहे. व वेग vKm/h आहे.एक विचेजा खांब ओलांडून जाण्यासाठी लाग वेळ....
18 X
वेळ = ------ × --------
5 v
◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇
एक रेल्वे X मीटर लांब व एक पुल Y मीटर लांब वेग v Km/h असेल तर पुल ओलांडून जाण्यासाठी लागणारा वेळ....
18 ( X + Y )
वेळ = ------ × -----------------
5 v
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
दोन रेल्वे अनुक्रमे लांबी X मीटर व Y मीटर आहे . वेग अनुक्रमे v Km/h व u Km/h आहे.
( v > u ) असेल .....
✏ एकाच दिशेने जात असातील तर ओलांडून जाण्यासाठी लागणारा वेळ....
18 ( X + Y )
वेळ = -------- × -----------------
5 ( v - u )
एक मेकाच्या विरूद्ध दिशेला जात असतील तर ओलांडून जाण्यासाठी लागणारा वेळ ....
18 ( X + Y )
वेळ = ------- × ----------------
5 ( v + u )
●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●
रेल्वे वरील उदाहरणे सोडविताना एकक सारखे करणे गरजेचे असते. कारण दिलेला वेग हा किलोमीटर प्रती तास असतो, व काळ / वेळ सेकंदात आणि रेल्वेची लांबी (अंतर) मीटर मध्ये दिलेले असते. म्हणून वेगाचे रुपांतर मीटर प्रती सेकंद करावे लागते, त्या साठी वेगळा ५ / १८ ने गुणावे.
याउलट जर मीटर प्रती सेकंद चे रुपांतर किलोमीटर प्रती तास करावयाचे असेल तर वेगळा १८ / ५ ने गुणावे.
जर दोन ट्रेन एकाच दिशेला धावत असतील तर त्याच्या वेगांची वजाबाकी करावी व आलेला वेग आकडेमोड करण्यासाठी वापरावा.
जर दोन ट्रेन विरुद्ध दिशेला धावत असतील तर त्याच्या वेगांची बेरीज करावी व आलेला वेग आकडेमोड करण्यासाठी वापरावा.
वरील दोन्ही प्रकारात ट्रेन च्या लांबीची बेरीजच करावी.
●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●
Que: Arun works thrice as fast as Mani. If Mani alone completes the work in 48 days, then in how many days Arun and Mani together can complete the work?
A 16 days
B 20 days
C 12 days
D 8 days
E 18 days
Correct Answer = C
Explanation.
Ratio of work efficiencies of Arun and Mani = 3 : 1 ( ? Arun works thrice as fast as Mani )
Ratio of Time Taken to complete same unit of work by Arun to Mani = 1 : 3 ( ? Time taken will be inversely proportional to Efficiency )
Mani completes the work = 48 days.
Mani 1 day work = 1 / 48
Arun can complete the same work = 16 days ( ? 48 / 3 = 16 )
As he is 3 times more efficient than Mani.
Arun 1 day work = 1 / 16
Work that can be completed by Mani and Arun when working together for a day = ( 1 / 48 ) + ( 1 / 16 )
= ( 1 + 3 ) / 48
= 4 / 48
= 1 / 12
Arun and Mani together can complete the work in 12 days.
🔹Digital root
*संबोध व संकल्पना*
___________________
============================
*Digital root संबोध व व्याख्या*
🔶Digital root -
आधी आपण Digital Root ची व्याख्या पाहुयात.....
*दिलेल्या संख्यातील अंकातील अंकाची बेरीज एक अंक येईपर्यंत करत जाने म्हणजे च त्या संख्या चे Digital Root होय*
☄ उदाहरणार्थ ....
567 = 5 + 6 + 7 = 18 = 1+8 = 9
*म्हणजे 567 चे Digital root 9 होय*
8956 = 8 + 9 + 5 + 6
= 28
= 2 + 8
= 10
= 1 + 0
= 1
*म्हणजे 8956 चे digital root 1 होय*
============================
*Example*...........
*How many three-digit numbers are having their digital root equal to 3* ?
*(e.g.).111 , 120 , ...... 993*
🔶 *आता वरील प्रश्न पाहुयात*
तीन अंकी संख्या शोधायच्या आहेत ज्यांची Digital root 3 आहे.
☄☄☄☄ *सुत्र* ☄☄☄☄
*Digital root 3 असणाऱ्या संख्या*
= *9n + 3*
[ n = 0, 1 , 2 ,3 .......]
*पहिली लहानात लहान तीन अंकी शोधण्यासाठी निरीक्षण करून आपणास....*
= 9n + 3
= 9 × 11 + 3
= 99 + 3
= 102 ✅....1 + 0 + 2 = 3
*मोठ्यात मोठी तीन अंकी संख्या*
= 9n + 3
= 9 × 110 + 3
= 990 + 3
= 993 ✅...9+9+3 =21 = 2+1= 3
म्हणजे च.....
पहिली संख्या n = 11 व शेवटची n = 110
*म्हणून एकूण संख्या - 100*
===========================
☄☄ *महत्त्वाचे* ☄☄
*Digital root सुञ*
========== ========
1 9n + 1
2 9n + 2
3 9n + 3
4 9n + 4
5 9n + 5
6 9n + 6
7 9n + 7
8 9n + 8
9 9n
*[ n = 0, 1, 2, 3, ...........]*
============================
🔶 *मोठ्या संख्या चे Digital root*
*Steps*.....
☄ *दिलेल्या संख्या स 9 ने भाग घाला*.
☄ *बाकी किती राहते ते शोधा*.
☄ *जेवढी बाकी शिल्लक असेल तेवढे त्या संख्या चे Digital root होय*
☄☄ *उदाहरणार्थ* ☄☄
प्रश्न . 567834 चे Digital root किती ?
*स्पष्टीकरण*
567834 ला 9 भे भाग घालू यात.
567834
= ------------------
9
= 63092 बाकी = 6
*बाकी 6 आली म्हणजे 567834 चे Digital root 6 होय*
🔹संख्या व संख्याचे प्रकार
N संख्यांची सरासरी = दिलेल्या संख्यांची बेरीज / n, n = एकूण संख्या
क्रमश: संख्यांची सरासरी ही मधली संख्या असते.
उदाहरणार्थ – 12, 13, [14], 15, 16 या संख्या मालेतील संख्यांची सरासरी = 14
संख्यामाला दिल्यावर ठरावीक संख्यांची (n) सरासरी काढण्यासाठी
n या क्रांश: संख्यांची सरासरी = (पहिली संख्या + शेवटची संख्या) / 2
उदा. 1) क्रमश: 1 ते 25 अंकांची सरासरी = 1+25/2 = 26/2 = 13
1 ते 20 पर्यंतच्या सर्व विषम संख्यांची सरासरी =1+19/2 =20/2 =10
N या क्रमश: संख्यांची बेरीज = (पहिली संख्या + शेवटची संख्या) x n/ 2
उदा.
1) 1 ते 100 अंकांची बेरीज = (1+100)x20/2 = 81x20/2 = 810
(31 ते 50 संख्यांमध्ये एकूण 20 संख्या येतात. यानुसार n = 20)
नमूना पहिला –
उदा.
चार क्रमवार सम संख्यांची सरासरी 35 आहे, तर त्यापैकी सर्वात लहान संख्या कोणती?
32
30
34
28
उत्तर : 32
क्लृप्ती :-
सरासरी संख्या ही क्रमवार संख्यांच्या मधली संख्या असते.
32, 34, [35], 36, 38
नियम –
क्रमश: असलेल्या अंकांची सरासरी = (पहिली संख्या+शेवटची संख्या) ÷ 2
वरील सूत्रानुसार 1+20/2 = 10.5, 1+10/2 = 5.5
यावरून (10.5-5.5) = 5
नमूना दूसरा –
उदा.
क्रमश: 1 ते 100 अंकांची बेरीज किती?
5050
10050
10100
2525
उत्तर : 5050
क्लृप्ती :
क्रमश: संख्यांची बेरीज = सरासरी × एकूण संख्या = 1+100/2 ×100 किंवा
= 101×100/2 = 101×50 = 5050
नमूना तिसरा-
उदा.
35, 39, 45, 36, आणि 4* या दोन अंकी संख्यांची सरासरी 39 आहे; तर शेवटच्या संख्येतील एकक स्थानचा * च्या जागे वरील अंक कोणता?
3
5
0
7
उत्तर : 0
क्लृप्ती :
सरासरी = 39 [मधली संख्या (35 36 39 45 4*)]
एकूण = 39×5 = 195
एकक स्थानी 5 येण्यास 5+9+5+6+* = 25 = 0 = 25
0+5 = 5
:: * = 0
नमूना चौथा –
उदा.
क्रमश: पाच विषम संख्यांची सरासरी 37 आहे. त्यापुढील 5 विषम संख्यांची सरासरी 47 आहे; तर त्या दहाही संख्याची सरासरी किती?
44
43
42
40
उत्तर : 42
क्लृप्ती :
एकूण संख्यांची सरासरी = सरसरींची बेरीज / एकूण संख्या (N) 37+47/2 = 42
नमूना पाचवा –
उदा.
एका नावेत सरासरी 22 कि.ग्रॅ. वजनाची 25 मुले बसली. नावाड्यासह सर्वाचे सरासरी वजन 24 कि.ग्रॅ. झाले तर नावाड्याचे वजन किती?
74 कि.ग्रॅ.
71 कि.ग्रॅ.
75 कि.ग्रॅ.
100 कि.ग्रॅ.
उत्तर : 74 कि.ग्रॅ.
नावाड्याचे वजन = (सरासरीतील फरक × विधार्थ्यांची संख्या) + नवीन सरासरी
क्लृप्ती :
सरसरीतील फरक = 24 -22 2×25.
नावाड्याचे वजन = 50+24 = 74
नमूना सहावा –
उदा.
एका वर्गातील सर्व मुलांच्या वयांची सरासरी 15 वर्षे आहे. त्यापैकी 15 मुलांच्या वयांची सरासरी 12 वर्षे आहे व उरलेल्या मुलांची सरासरी 16 वर्षे आहे, तर त्या वर्गात एकूण मुले किती?
60
45
40
50
उत्तर : 60
स्पष्टीकरण :-
15 मुलांच्या वयांची सरासरी एकूण मुलांच्या सरासरी पेक्षा 3 ने कमी व उरलेल्या मुलांच्या वयाची सरासरी 1 ने जास्त आहे. एकूण भरून काढावयाची वर्षे = 3×15 विधार्थी = 45 वर्षे
उरलेल्या विधार्थ्यांपैकी 1 विधार्थी 1 वर्ष भरून काढतो.
उरलेले विधार्थी = 1×45 = 45 विधार्थी
:: एकूण विधार्थी = 45+15 = 60 विधार्थी
नमूना सातवा –
उदा.
एका दुकानदाराची 30 दिवसांची सरासरी विक्री 155 रु. आहे पहिल्या 15 दिवसांची सरासरी विक्री 190 रु. असल्यास; नंतरच्या 15 दिवसांची एकूण विक्री किती?
285
2375
1800
1950
उत्तर : 1800
क्लृप्ती : -
(155 – सरसरीतील फरक)×15
= (155-35)×15
= 120×15
= 1800
नमूना आठवा –
उदा.
ताशी सरासरी 60 कि.मी. वेगाने जाणारी आगगाडी निर्धारित ठिकाणी निर्धारित वेळेत पोहचते. जर ती ताशी सरासरी 50 कि.मी. वेगाने गेल्यास ती निर्धारित वेळेपेक्षा 30 मिनिटे उशीरा पोहचते. तर तिने कापावयाचे एकूण अंतर किती?
300 कि.मी.
150 कि.मी.
450 कि.मी.
यापैकी नाही
उत्तर : 150 कि.मी.
स्पष्टीकरण :-
एकूण अंतर x मानू
∷x/50-x/60=30/60
∶:(6x-5x)/300=1/2
x= 300/2
=150 कि.मी.
🔹घटक - काम काळ व वेग.
सुञ -
1) अंतर = वेग × वेळ
अंतर
2) वेग = ----------
वेळ
अंतर
3) वेळ = -----------
वेग
======================
✏आगगाडी किंवा रेल्वे साठी सुञ.✏
🚝🚝🚈🚈🚈...आगगाडी किंवा रेल्वे साठी चे गणित सोडवण्यासाढी वेग हा km व वेळ ही तासात दिलेली असते. परंतु रेल्वे व आगगाडी एकमेकांना ओलांडून जाते हे उत्तर मीटर -सेकंद मध्ये असते म्हणून त्या साठी पुढील सुञ तयार होतात.
📙📙📙📙📙📙📙📙📙📙
एक रेल्वे जिची लांबी X मीटर आहे. व वेग vKm/h आहे.एक विचेजा खांब ओलांडून जाण्यासाठी लाग वेळ....
18 X
वेळ = ------ × --------
5 v
📘📘📘📘📘📘📘📘📘📘
एक रेल्वे X मीटर लांब व एक पुल Y मीटर लांब वेग v Km/h असेल तर पुल ओलांडून जाण्यासाठी लागणारा वेळ....
18 ( X + Y )
वेळ = ------ × -----------------
5 v
📒📒📒📒📒📒📒📒📒📒
दोन रेल्वे अनुक्रमे लांबी X मीटर व Y मीटर आहे . वेग अनुक्रमे v Km/h व u Km/h आहे.
( v > u ) असेल .....
✏ एकाच दिशेने जात असातील तर ओलांडून जाण्यासाठी लागणारा वेळ....
18 ( X + Y )
वेळ = -------- × -----------------
5 ( v - u )
✏✏ एक मेकाच्या विरूद्ध दिशेला जात असतील तर ओलांडून जाण्यासाठी लागणारा वेळ ....
18 ( X + Y )
वेळ = ------- × ----------------
5 ( v + u )
======================
🔹 घटक - घड्याळ
स्पर्धा परीक्षा किंवा अनेक नौकरी साठी घेण्यात येणाऱ्या परीक्षेत घड्याळावर अनेकदा प्रश्न विचारतात त्या साठी काही सुञ आज आपण पाहू या.
🚦 सुञ :-
1) वेळ दिली असता कोन काढणे.
11
= --------- × M - 30 × H
2
M - मिनीट
H - दिलेल्या वेळेत एकूण किती तास आहेत.
2 ) समजा 7 ते 8 च्या दरम्यान किती वाजता तास व मिनीट काटा एकमेकावर येतात.....
सुञ...
60
= ----------- × 7 × 5
55
3) दिवसात किती वेळा तास व मिनीट काटा 90° चा कोन करतात ??
उत्तर - 12 तासात - 22 वेळा.
24 तासात - 44 वेळा.
4) दिवसात किती वेळा तास काटा व मिनीट काटा परस्परांशी विरूद्ध असतात /येतात ?
उत्तर -
12 तासात - 11 वेळा
24 तासात - 22 वेळा.
5 ) एक मिनीट म्हणजे 6° होय.
एक तास म्हणजे 90° होय.
6 ) प्रत्येक तासाला तितकेच ठोके पडत असतील तर दिवसात एकूण ठोके किती पडतात ?
12 × 13
= ---------------- = 78.....12 तासात.
2
24 तासात एकूण ठोल - 156
7 ) 4 ते 5 च्या दरम्यान किती वाजता तास व मिनीट काटा विरुद्ध दिशेला असतील ?
स्पष्टीकरण -
या वेळी मिनीट काटा 10 ते 11 च्या दरम्यान असेल म्हणून ...
M = 10 घ्यावे .
60
= --------- × 5 × M
55
60
= ----------- × 5 × 10
55
600 6
= ----------- = 54 ------
11 11
6
म्हणजे च 4 वाजून 54 ----- मिनीट.
11
8) 5 ते 6 च्या दरम्यान किती वाजता 90 ° चा कोन होईल ?
स्पष्टीकरण -
90 ° चा कोन होण्यासाठी मिनीट काटा 8 च्या पुढे असाला पाहीजे.
म्हणून M = 8 घ्यावे .
60
= ------- × 5 × 8
55
480 7
= ------------- = 43 ------
11 11
म्हणून ... 7
90° चा कोन 5 वाजून 43 ----- मिनीट.
11
=========================
🔹घटक - काम व काळ
स्पर्धा परीक्षा किंवा इतर महत्वाच्या परीक्षा मध्ये पाण्याचा हौद या घटकावर प्रश्न असतात तर त्या दृष्टीने आज आपण सुञ पाहुया.....
🚦 सुञ :-
1) समजा दोन नळाने प्रत्येकी X तासात व Y तासात पाण्याचा हौद भरतो. दोन्ही नळ एकाच वेळी चालू केले तर किती वेळ लागेल...
X × Y
= -----------------
( X + Y )
2) समजा तीन नळाने अनुक्रमे ..X , Y व Z तासात भारतात....एकदाच चालू केले तर लागणारा वेळ....
XYZ
= --------------------------
XY + YZ + ZX
3) समजा एका नळाने भरायला X तास वेळ व दुसऱ्या नळाने रिकामा होण्यासाठी Y तास ...हौद भरण्यासाठी लागणारा वेळ....
X × Y
= ----------------
( Y - X )
4) दोन नळाने भरण्यासाठी X , Y तास लागतील व रिकामा होण्यासाठी Z तास लागतात तर हौद भरण्यासाठी किती वेळ लागेल .....
X × Y × Z
= ------------------------
ZX + ZY - XY
5 )....थोडक्यात किती ही नळ असले भरण्यासाठी किंवा किती ही रिकामा होण्यासाठी खालील एकच सुञ लक्षात ठेवा.....
समजा भरण्यासाठी ...a b c d...तास असणारे नळ आहेत.
रिकामा करण्यासाठी ...k l m n ...तास असणारे नळ आहेत तर लागणारा वेळ ....
1 1 1 1
= ---- + ---- ....... - ---- - --- ....
a b k m
याचे जे उत्तर येईल त्याचे गुणाकार व्यस्त लिहणे म्हणजे च उत्तर होय.
==========================
Average - सरासरी
============================
सरासरी - *दिलेल्या एकूण घटकांची बेरीज भागीले एकूण घटक यांची किंमत म्हणजे सरासरी होय*
*Average - Sum of total components divided by number of components is called average*
*घटकांची बेरीज*
सरासरी = ----------------------------
*एकूण घटक*
*Sum of all comp*
*average = --------------------------*
*No. of comp.*
उदाहरणार्थ ....
सुरेश ला मराठीत 78 गुण मिळाले , हिंदी 82 गुण मिळाले , इंग्रजीत 75 गुण ,गणित 80 गुण विज्ञान 85 गुण, इतिहास -भुगोल 80 गुण मिळाले तर त्याला सरासरी किती गुण मिळाले ?
explanation .......
Total Mark
Average = ---------------------------
Total subject
78 + 82 + 75 + 80 + 85 + 80
= -------------------------------------
6
480
= -----------
6
= 80
म्हणून *सुरेश ला सरासरी 80 गुण मिळाले*
==========================
*Example -2*
*What is average of first 10 nature number ?*
*explanation*-.....
Sum of first 10 N.no
Avarage = ----------------------------
Total number
55
= ----------
10
= 5.5
*Average of first twn natural number is 5.5*
===========================
*example - 3* *नेहमी चुकणारा प्रश्न*
एक गाडी जाताना 20 km/h वेगानं जाते.व परत येताना 30 km/h वेगानं येते तर त्या गाडीचा सरासरी वेग किती ?
*explanation & tricks*......
2 × V1 × V2
सरासरी वेग = ---------------------
V1 + V2
2 × 20 × 30
= ---------------------
20 + 30
= 1200/50
= 24 km/h
म्हणून *सरासरी वेग = 24km/h
========================
*महत्त्वाचे सुत्र*
[ 1 ] पहिल्या N नैसर्गिक संख्या ची सरासरी ....
*Average of first N Natural number is*......
( N + 1)
= --------------
2
[ 2 ] पहिल्या N सम संख्या ची सरासरी ......
*Average of first N even number*
= ( N + 1)
[ 3 ] पहिल्या N विषम संख्या ची सरासरी ......
*Average of first N odd number*....
= N
======================
घटक - *काम , काळ , वेळ*
*उदाहरणे सोडवण्याची सोपी पद्धती व tricks*
============================
काम , कामगार , दिवस , तास ....
या चार बाबी वर प्रश्न असतील तर फक्त एकच सुञ लक्षात ठेवा....!!!
M1×D1×T1×W2 = M2×D2×T2×W1
यामध्ये .....
M = माणसे
D = दिवस
T = तास
W = काम
1 & 2 हे पहिल्या वेळी व दुसऱ्या वेळी साठी वापरा....!!!
🔸 प्रत्येक गणितात वरील 4 ही घटक असतीलच असेही नाही .
कधी 2 घटक असतील....
कधी 3 घटक असतील...
कधी 4 घटक असतील...
सुत्र माञ एकमेवच वापरा...👍🏻👍🏻
🔹 जो घटक सुञात नाही तो नाही लिहला तरी चालतो.
===========================
( पुढील प्रश्न *फक्त copy paste* आहे . *स्पष्टीकरण copy paste नाही*)
सराव प्रश्न 001 *32 माणसे दररोज 6 तास काम करून एक काम 15 दिवसांत पूर्ण करतात. 40 माणसांना दररोज 8 तासाप्रमाणे काम करून हे काम पूर्ण करायला किती दिवस लागतील ?*
पर्याय ...
*1) 6 2) 7 3) 8 4) 9*
स्पष्टीकरण .....1891....
M1= 32 , T1= 6 , D1= 15
M2 = 40 T2 = 8 , D2= ?
W दिले नाही म्हणून लिहु ही नका...
सुञ....
M1× D1× T1 = M2×D2×T2
32×15×6 = 40 ×D2 × 8
32 × 15 × 6
D2 = -----------------------
40 × 8
D2 = 9 दिवस ✅
============================
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
🏮 काळ, काम व वेग 🏮
==============
1) काळ व काम : - एखादे काम पूर्ण करण्यास लागणारा काळ (वेळ) ते काम करीत असलेल्या व्यक्तींच्या संख्येवर अवलंबून असतो.
2) काम आणि लागणारा काळ (वेळ) हे सम चलनात असते.
3) काम करणाऱ्या संख्या व लागणारा काळ (वेळ) हे व्यस्त चलनात असते.
✔सुत्रे :
1) अंतर = वेग × वेळ
अंतर
2) वेग = ----------
वेळ
अंतर
3) वेळ = -----------
वेग
============================
*आगगाडी किंवा रेल्वे साठी सुञ*
आगगाडी किंवा रेल्वे साठी चे गणित सोडवण्यासाढी वेग हा km व वेळ ही तासात दिलेली असते. परंतु रेल्वे व आगगाडी एकमेकांना ओलांडून जाते हे उत्तर मीटर -सेकंद मध्ये असते म्हणून त्या साठी पुढील सुञ तयार होतात.
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
एक रेल्वे जिची लांबी X मीटर आहे. व वेग vKm/h आहे.एक विचेजा खांब ओलांडून जाण्यासाठी लाग वेळ....
18 X
वेळ = ------ × --------
5 v
◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇
एक रेल्वे X मीटर लांब व एक पुल Y मीटर लांब वेग v Km/h असेल तर पुल ओलांडून जाण्यासाठी लागणारा वेळ....
18 ( X + Y )
वेळ = ------ × -----------------
5 v
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
दोन रेल्वे अनुक्रमे लांबी X मीटर व Y मीटर आहे . वेग अनुक्रमे v Km/h व u Km/h आहे.
( v > u ) असेल .....
✏ एकाच दिशेने जात असातील तर ओलांडून जाण्यासाठी लागणारा वेळ....
18 ( X + Y )
वेळ = -------- × -----------------
5 ( v - u )
एक मेकाच्या विरूद्ध दिशेला जात असतील तर ओलांडून जाण्यासाठी लागणारा वेळ ....
18 ( X + Y )
वेळ = ------- × ----------------
5 ( v + u )
●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●
रेल्वे वरील उदाहरणे सोडविताना एकक सारखे करणे गरजेचे असते. कारण दिलेला वेग हा किलोमीटर प्रती तास असतो, व काळ / वेळ सेकंदात आणि रेल्वेची लांबी (अंतर) मीटर मध्ये दिलेले असते. म्हणून वेगाचे रुपांतर मीटर प्रती सेकंद करावे लागते, त्या साठी वेगळा ५ / १८ ने गुणावे.
याउलट जर मीटर प्रती सेकंद चे रुपांतर किलोमीटर प्रती तास करावयाचे असेल तर वेगळा १८ / ५ ने गुणावे.
जर दोन ट्रेन एकाच दिशेला धावत असतील तर त्याच्या वेगांची वजाबाकी करावी व आलेला वेग आकडेमोड करण्यासाठी वापरावा.
जर दोन ट्रेन विरुद्ध दिशेला धावत असतील तर त्याच्या वेगांची बेरीज करावी व आलेला वेग आकडेमोड करण्यासाठी वापरावा.
वरील दोन्ही प्रकारात ट्रेन च्या लांबीची बेरीजच करावी.
●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●
Que: Arun works thrice as fast as Mani. If Mani alone completes the work in 48 days, then in how many days Arun and Mani together can complete the work?
A 16 days
B 20 days
C 12 days
D 8 days
E 18 days
Correct Answer = C
Explanation.
Ratio of work efficiencies of Arun and Mani = 3 : 1 ( ? Arun works thrice as fast as Mani )
Ratio of Time Taken to complete same unit of work by Arun to Mani = 1 : 3 ( ? Time taken will be inversely proportional to Efficiency )
Mani completes the work = 48 days.
Mani 1 day work = 1 / 48
Arun can complete the same work = 16 days ( ? 48 / 3 = 16 )
As he is 3 times more efficient than Mani.
Arun 1 day work = 1 / 16
Work that can be completed by Mani and Arun when working together for a day = ( 1 / 48 ) + ( 1 / 16 )
= ( 1 + 3 ) / 48
= 4 / 48
= 1 / 12
Arun and Mani together can complete the work in 12 days.
🔹Digital root
*संबोध व संकल्पना*
___________________
============================
*Digital root संबोध व व्याख्या*
🔶Digital root -
आधी आपण Digital Root ची व्याख्या पाहुयात.....
*दिलेल्या संख्यातील अंकातील अंकाची बेरीज एक अंक येईपर्यंत करत जाने म्हणजे च त्या संख्या चे Digital Root होय*
☄ उदाहरणार्थ ....
567 = 5 + 6 + 7 = 18 = 1+8 = 9
*म्हणजे 567 चे Digital root 9 होय*
8956 = 8 + 9 + 5 + 6
= 28
= 2 + 8
= 10
= 1 + 0
= 1
*म्हणजे 8956 चे digital root 1 होय*
============================
*Example*...........
*How many three-digit numbers are having their digital root equal to 3* ?
*(e.g.).111 , 120 , ...... 993*
🔶 *आता वरील प्रश्न पाहुयात*
तीन अंकी संख्या शोधायच्या आहेत ज्यांची Digital root 3 आहे.
☄☄☄☄ *सुत्र* ☄☄☄☄
*Digital root 3 असणाऱ्या संख्या*
= *9n + 3*
[ n = 0, 1 , 2 ,3 .......]
*पहिली लहानात लहान तीन अंकी शोधण्यासाठी निरीक्षण करून आपणास....*
= 9n + 3
= 9 × 11 + 3
= 99 + 3
= 102 ✅....1 + 0 + 2 = 3
*मोठ्यात मोठी तीन अंकी संख्या*
= 9n + 3
= 9 × 110 + 3
= 990 + 3
= 993 ✅...9+9+3 =21 = 2+1= 3
म्हणजे च.....
पहिली संख्या n = 11 व शेवटची n = 110
*म्हणून एकूण संख्या - 100*
===========================
☄☄ *महत्त्वाचे* ☄☄
*Digital root सुञ*
========== ========
1 9n + 1
2 9n + 2
3 9n + 3
4 9n + 4
5 9n + 5
6 9n + 6
7 9n + 7
8 9n + 8
9 9n
*[ n = 0, 1, 2, 3, ...........]*
============================
🔶 *मोठ्या संख्या चे Digital root*
*Steps*.....
☄ *दिलेल्या संख्या स 9 ने भाग घाला*.
☄ *बाकी किती राहते ते शोधा*.
☄ *जेवढी बाकी शिल्लक असेल तेवढे त्या संख्या चे Digital root होय*
☄☄ *उदाहरणार्थ* ☄☄
प्रश्न . 567834 चे Digital root किती ?
*स्पष्टीकरण*
567834 ला 9 भे भाग घालू यात.
567834
= ------------------
9
= 63092 बाकी = 6
*बाकी 6 आली म्हणजे 567834 चे Digital root 6 होय*
🔹संख्या व संख्याचे प्रकार
N संख्यांची सरासरी = दिलेल्या संख्यांची बेरीज / n, n = एकूण संख्या
क्रमश: संख्यांची सरासरी ही मधली संख्या असते.
उदाहरणार्थ – 12, 13, [14], 15, 16 या संख्या मालेतील संख्यांची सरासरी = 14
संख्यामाला दिल्यावर ठरावीक संख्यांची (n) सरासरी काढण्यासाठी
n या क्रांश: संख्यांची सरासरी = (पहिली संख्या + शेवटची संख्या) / 2
उदा. 1) क्रमश: 1 ते 25 अंकांची सरासरी = 1+25/2 = 26/2 = 13
1 ते 20 पर्यंतच्या सर्व विषम संख्यांची सरासरी =1+19/2 =20/2 =10
N या क्रमश: संख्यांची बेरीज = (पहिली संख्या + शेवटची संख्या) x n/ 2
उदा.
1) 1 ते 100 अंकांची बेरीज = (1+100)x20/2 = 81x20/2 = 810
(31 ते 50 संख्यांमध्ये एकूण 20 संख्या येतात. यानुसार n = 20)
नमूना पहिला –
उदा.
चार क्रमवार सम संख्यांची सरासरी 35 आहे, तर त्यापैकी सर्वात लहान संख्या कोणती?
32
30
34
28
उत्तर : 32
क्लृप्ती :-
सरासरी संख्या ही क्रमवार संख्यांच्या मधली संख्या असते.
32, 34, [35], 36, 38
नियम –
क्रमश: असलेल्या अंकांची सरासरी = (पहिली संख्या+शेवटची संख्या) ÷ 2
वरील सूत्रानुसार 1+20/2 = 10.5, 1+10/2 = 5.5
यावरून (10.5-5.5) = 5
नमूना दूसरा –
उदा.
क्रमश: 1 ते 100 अंकांची बेरीज किती?
5050
10050
10100
2525
उत्तर : 5050
क्लृप्ती :
क्रमश: संख्यांची बेरीज = सरासरी × एकूण संख्या = 1+100/2 ×100 किंवा
= 101×100/2 = 101×50 = 5050
नमूना तिसरा-
उदा.
35, 39, 45, 36, आणि 4* या दोन अंकी संख्यांची सरासरी 39 आहे; तर शेवटच्या संख्येतील एकक स्थानचा * च्या जागे वरील अंक कोणता?
3
5
0
7
उत्तर : 0
क्लृप्ती :
सरासरी = 39 [मधली संख्या (35 36 39 45 4*)]
एकूण = 39×5 = 195
एकक स्थानी 5 येण्यास 5+9+5+6+* = 25 = 0 = 25
0+5 = 5
:: * = 0
नमूना चौथा –
उदा.
क्रमश: पाच विषम संख्यांची सरासरी 37 आहे. त्यापुढील 5 विषम संख्यांची सरासरी 47 आहे; तर त्या दहाही संख्याची सरासरी किती?
44
43
42
40
उत्तर : 42
क्लृप्ती :
एकूण संख्यांची सरासरी = सरसरींची बेरीज / एकूण संख्या (N) 37+47/2 = 42
नमूना पाचवा –
उदा.
एका नावेत सरासरी 22 कि.ग्रॅ. वजनाची 25 मुले बसली. नावाड्यासह सर्वाचे सरासरी वजन 24 कि.ग्रॅ. झाले तर नावाड्याचे वजन किती?
74 कि.ग्रॅ.
71 कि.ग्रॅ.
75 कि.ग्रॅ.
100 कि.ग्रॅ.
उत्तर : 74 कि.ग्रॅ.
नावाड्याचे वजन = (सरासरीतील फरक × विधार्थ्यांची संख्या) + नवीन सरासरी
क्लृप्ती :
सरसरीतील फरक = 24 -22 2×25.
नावाड्याचे वजन = 50+24 = 74
नमूना सहावा –
उदा.
एका वर्गातील सर्व मुलांच्या वयांची सरासरी 15 वर्षे आहे. त्यापैकी 15 मुलांच्या वयांची सरासरी 12 वर्षे आहे व उरलेल्या मुलांची सरासरी 16 वर्षे आहे, तर त्या वर्गात एकूण मुले किती?
60
45
40
50
उत्तर : 60
स्पष्टीकरण :-
15 मुलांच्या वयांची सरासरी एकूण मुलांच्या सरासरी पेक्षा 3 ने कमी व उरलेल्या मुलांच्या वयाची सरासरी 1 ने जास्त आहे. एकूण भरून काढावयाची वर्षे = 3×15 विधार्थी = 45 वर्षे
उरलेल्या विधार्थ्यांपैकी 1 विधार्थी 1 वर्ष भरून काढतो.
उरलेले विधार्थी = 1×45 = 45 विधार्थी
:: एकूण विधार्थी = 45+15 = 60 विधार्थी
नमूना सातवा –
उदा.
एका दुकानदाराची 30 दिवसांची सरासरी विक्री 155 रु. आहे पहिल्या 15 दिवसांची सरासरी विक्री 190 रु. असल्यास; नंतरच्या 15 दिवसांची एकूण विक्री किती?
285
2375
1800
1950
उत्तर : 1800
क्लृप्ती : -
(155 – सरसरीतील फरक)×15
= (155-35)×15
= 120×15
= 1800
नमूना आठवा –
उदा.
ताशी सरासरी 60 कि.मी. वेगाने जाणारी आगगाडी निर्धारित ठिकाणी निर्धारित वेळेत पोहचते. जर ती ताशी सरासरी 50 कि.मी. वेगाने गेल्यास ती निर्धारित वेळेपेक्षा 30 मिनिटे उशीरा पोहचते. तर तिने कापावयाचे एकूण अंतर किती?
300 कि.मी.
150 कि.मी.
450 कि.मी.
यापैकी नाही
उत्तर : 150 कि.मी.
स्पष्टीकरण :-
एकूण अंतर x मानू
∷x/50-x/60=30/60
∶:(6x-5x)/300=1/2
x= 300/2
=150 कि.मी.
🔹घटक - काम काळ व वेग.
सुञ -
1) अंतर = वेग × वेळ
अंतर
2) वेग = ----------
वेळ
अंतर
3) वेळ = -----------
वेग
======================
✏आगगाडी किंवा रेल्वे साठी सुञ.✏
🚝🚝🚈🚈🚈...आगगाडी किंवा रेल्वे साठी चे गणित सोडवण्यासाढी वेग हा km व वेळ ही तासात दिलेली असते. परंतु रेल्वे व आगगाडी एकमेकांना ओलांडून जाते हे उत्तर मीटर -सेकंद मध्ये असते म्हणून त्या साठी पुढील सुञ तयार होतात.
📙📙📙📙📙📙📙📙📙📙
एक रेल्वे जिची लांबी X मीटर आहे. व वेग vKm/h आहे.एक विचेजा खांब ओलांडून जाण्यासाठी लाग वेळ....
18 X
वेळ = ------ × --------
5 v
📘📘📘📘📘📘📘📘📘📘
एक रेल्वे X मीटर लांब व एक पुल Y मीटर लांब वेग v Km/h असेल तर पुल ओलांडून जाण्यासाठी लागणारा वेळ....
18 ( X + Y )
वेळ = ------ × -----------------
5 v
📒📒📒📒📒📒📒📒📒📒
दोन रेल्वे अनुक्रमे लांबी X मीटर व Y मीटर आहे . वेग अनुक्रमे v Km/h व u Km/h आहे.
( v > u ) असेल .....
✏ एकाच दिशेने जात असातील तर ओलांडून जाण्यासाठी लागणारा वेळ....
18 ( X + Y )
वेळ = -------- × -----------------
5 ( v - u )
✏✏ एक मेकाच्या विरूद्ध दिशेला जात असतील तर ओलांडून जाण्यासाठी लागणारा वेळ ....
18 ( X + Y )
वेळ = ------- × ----------------
5 ( v + u )
======================
🔹 घटक - घड्याळ
स्पर्धा परीक्षा किंवा अनेक नौकरी साठी घेण्यात येणाऱ्या परीक्षेत घड्याळावर अनेकदा प्रश्न विचारतात त्या साठी काही सुञ आज आपण पाहू या.
🚦 सुञ :-
1) वेळ दिली असता कोन काढणे.
11
= --------- × M - 30 × H
2
M - मिनीट
H - दिलेल्या वेळेत एकूण किती तास आहेत.
2 ) समजा 7 ते 8 च्या दरम्यान किती वाजता तास व मिनीट काटा एकमेकावर येतात.....
सुञ...
60
= ----------- × 7 × 5
55
3) दिवसात किती वेळा तास व मिनीट काटा 90° चा कोन करतात ??
उत्तर - 12 तासात - 22 वेळा.
24 तासात - 44 वेळा.
4) दिवसात किती वेळा तास काटा व मिनीट काटा परस्परांशी विरूद्ध असतात /येतात ?
उत्तर -
12 तासात - 11 वेळा
24 तासात - 22 वेळा.
5 ) एक मिनीट म्हणजे 6° होय.
एक तास म्हणजे 90° होय.
6 ) प्रत्येक तासाला तितकेच ठोके पडत असतील तर दिवसात एकूण ठोके किती पडतात ?
12 × 13
= ---------------- = 78.....12 तासात.
2
24 तासात एकूण ठोल - 156
7 ) 4 ते 5 च्या दरम्यान किती वाजता तास व मिनीट काटा विरुद्ध दिशेला असतील ?
स्पष्टीकरण -
या वेळी मिनीट काटा 10 ते 11 च्या दरम्यान असेल म्हणून ...
M = 10 घ्यावे .
60
= --------- × 5 × M
55
60
= ----------- × 5 × 10
55
600 6
= ----------- = 54 ------
11 11
6
म्हणजे च 4 वाजून 54 ----- मिनीट.
11
8) 5 ते 6 च्या दरम्यान किती वाजता 90 ° चा कोन होईल ?
स्पष्टीकरण -
90 ° चा कोन होण्यासाठी मिनीट काटा 8 च्या पुढे असाला पाहीजे.
म्हणून M = 8 घ्यावे .
60
= ------- × 5 × 8
55
480 7
= ------------- = 43 ------
11 11
म्हणून ... 7
90° चा कोन 5 वाजून 43 ----- मिनीट.
11
=========================
🔹घटक - काम व काळ
स्पर्धा परीक्षा किंवा इतर महत्वाच्या परीक्षा मध्ये पाण्याचा हौद या घटकावर प्रश्न असतात तर त्या दृष्टीने आज आपण सुञ पाहुया.....
🚦 सुञ :-
1) समजा दोन नळाने प्रत्येकी X तासात व Y तासात पाण्याचा हौद भरतो. दोन्ही नळ एकाच वेळी चालू केले तर किती वेळ लागेल...
X × Y
= -----------------
( X + Y )
2) समजा तीन नळाने अनुक्रमे ..X , Y व Z तासात भारतात....एकदाच चालू केले तर लागणारा वेळ....
XYZ
= --------------------------
XY + YZ + ZX
3) समजा एका नळाने भरायला X तास वेळ व दुसऱ्या नळाने रिकामा होण्यासाठी Y तास ...हौद भरण्यासाठी लागणारा वेळ....
X × Y
= ----------------
( Y - X )
4) दोन नळाने भरण्यासाठी X , Y तास लागतील व रिकामा होण्यासाठी Z तास लागतात तर हौद भरण्यासाठी किती वेळ लागेल .....
X × Y × Z
= ------------------------
ZX + ZY - XY
5 )....थोडक्यात किती ही नळ असले भरण्यासाठी किंवा किती ही रिकामा होण्यासाठी खालील एकच सुञ लक्षात ठेवा.....
समजा भरण्यासाठी ...a b c d...तास असणारे नळ आहेत.
रिकामा करण्यासाठी ...k l m n ...तास असणारे नळ आहेत तर लागणारा वेळ ....
1 1 1 1
= ---- + ---- ....... - ---- - --- ....
a b k m
याचे जे उत्तर येईल त्याचे गुणाकार व्यस्त लिहणे म्हणजे च उत्तर होय.
==========================
Average - सरासरी
============================
सरासरी - *दिलेल्या एकूण घटकांची बेरीज भागीले एकूण घटक यांची किंमत म्हणजे सरासरी होय*
*Average - Sum of total components divided by number of components is called average*
*घटकांची बेरीज*
सरासरी = ----------------------------
*एकूण घटक*
*Sum of all comp*
*average = --------------------------*
*No. of comp.*
उदाहरणार्थ ....
सुरेश ला मराठीत 78 गुण मिळाले , हिंदी 82 गुण मिळाले , इंग्रजीत 75 गुण ,गणित 80 गुण विज्ञान 85 गुण, इतिहास -भुगोल 80 गुण मिळाले तर त्याला सरासरी किती गुण मिळाले ?
explanation .......
Total Mark
Average = ---------------------------
Total subject
78 + 82 + 75 + 80 + 85 + 80
= -------------------------------------
6
480
= -----------
6
= 80
म्हणून *सुरेश ला सरासरी 80 गुण मिळाले*
==========================
*Example -2*
*What is average of first 10 nature number ?*
*explanation*-.....
Sum of first 10 N.no
Avarage = ----------------------------
Total number
55
= ----------
10
= 5.5
*Average of first twn natural number is 5.5*
===========================
*example - 3* *नेहमी चुकणारा प्रश्न*
एक गाडी जाताना 20 km/h वेगानं जाते.व परत येताना 30 km/h वेगानं येते तर त्या गाडीचा सरासरी वेग किती ?
*explanation & tricks*......
2 × V1 × V2
सरासरी वेग = ---------------------
V1 + V2
2 × 20 × 30
= ---------------------
20 + 30
= 1200/50
= 24 km/h
म्हणून *सरासरी वेग = 24km/h
========================
*महत्त्वाचे सुत्र*
[ 1 ] पहिल्या N नैसर्गिक संख्या ची सरासरी ....
*Average of first N Natural number is*......
( N + 1)
= --------------
2
[ 2 ] पहिल्या N सम संख्या ची सरासरी ......
*Average of first N even number*
= ( N + 1)
[ 3 ] पहिल्या N विषम संख्या ची सरासरी ......
*Average of first N odd number*....
= N
======================MPSCmaths:
घटक - *काम , काळ , वेळ*
*उदाहरणे सोडवण्याची सोपी पद्धती व tricks*
============================
काम , कामगार , दिवस , तास ....
या चार बाबी वर प्रश्न असतील तर फक्त एकच सुञ लक्षात ठेवा....!!!
M1×D1×T1×W2 = M2×D2×T2×W1
यामध्ये .....
M = माणसे
D = दिवस
T = तास
W = काम
1 & 2 हे पहिल्या वेळी व दुसऱ्या वेळी साठी वापरा....!!!
🔸 प्रत्येक गणितात वरील 4 ही घटक असतीलच असेही नाही .
कधी 2 घटक असतील....
कधी 3 घटक असतील...
कधी 4 घटक असतील...
सुत्र माञ एकमेवच वापरा...👍🏻👍🏻
🔹 जो घटक सुञात नाही तो नाही लिहला तरी चालतो.
===========================
( पुढील प्रश्न *फक्त copy paste* आहे . *स्पष्टीकरण copy paste नाही*)
सराव प्रश्न 001 *32 माणसे दररोज 6 तास काम करून एक काम 15 दिवसांत पूर्ण करतात. 40 माणसांना दररोज 8 तासाप्रमाणे काम करून हे काम पूर्ण करायला किती दिवस लागतील ?*
पर्याय ...
*1) 6 2) 7 3) 8 4) 9*
स्पष्टीकरण .....1891....
M1= 32 , T1= 6 , D1= 15
M2 = 40 T2 = 8 , D2= ?
W दिले नाही म्हणून लिहु ही नका...
सुञ....
M1× D1× T1 = M2×D2×T2
32×15×6 = 40 ×D2 × 8
32 × 15 × 6
D2 = -----------------------
40 × 8
D2 = 9 दिवस ✅
============================
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
🏮 काळ, काम व वेग 🏮
==============
1) काळ व काम : - एखादे काम पूर्ण करण्यास लागणारा काळ (वेळ) ते काम करीत असलेल्या व्यक्तींच्या संख्येवर अवलंबून असतो.
2) काम आणि लागणारा काळ (वेळ) हे सम चलनात असते.
3) काम करणाऱ्या संख्या व लागणारा काळ (वेळ) हे व्यस्त चलनात असते.
✔सुत्रे :
1) अंतर = वेग × वेळ
अंतर
2) वेग = ----------
वेळ
अंतर
3) वेळ = -----------
वेग
============================
*आगगाडी किंवा रेल्वे साठी सुञ*
आगगाडी किंवा रेल्वे साठी चे गणित सोडवण्यासाढी वेग हा km व वेळ ही तासात दिलेली असते. परंतु रेल्वे व आगगाडी एकमेकांना ओलांडून जाते हे उत्तर मीटर -सेकंद मध्ये असते म्हणून त्या साठी पुढील सुञ तयार होतात.
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
एक रेल्वे जिची लांबी X मीटर आहे. व वेग vKm/h आहे.एक विचेजा खांब ओलांडून जाण्यासाठी लाग वेळ....
18 X
वेळ = ------ × --------
5 v
◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇
एक रेल्वे X मीटर लांब व एक पुल Y मीटर लांब वेग v Km/h असेल तर पुल ओलांडून जाण्यासाठी लागणारा वेळ....
18 ( X + Y )
वेळ = ------ × -----------------
5 v
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
दोन रेल्वे अनुक्रमे लांबी X मीटर व Y मीटर आहे . वेग अनुक्रमे v Km/h व u Km/h आहे.
( v > u ) असेल .....
✏ एकाच दिशेने जात असातील तर ओलांडून जाण्यासाठी लागणारा वेळ....
18 ( X + Y )
वेळ = -------- × -----------------
5 ( v - u )
एक मेकाच्या विरूद्ध दिशेला जात असतील तर ओलांडून जाण्यासाठी लागणारा वेळ ....
18 ( X + Y )
वेळ = ------- × ----------------
5 ( v + u )
●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●
रेल्वे वरील उदाहरणे सोडविताना एकक सारखे करणे गरजेचे असते. कारण दिलेला वेग हा किलोमीटर प्रती तास असतो, व काळ / वेळ सेकंदात आणि रेल्वेची लांबी (अंतर) मीटर मध्ये दिलेले असते. म्हणून वेगाचे रुपांतर मीटर प्रती सेकंद करावे लागते, त्या साठी वेगळा ५ / १८ ने गुणावे.
याउलट जर मीटर प्रती सेकंद चे रुपांतर किलोमीटर प्रती तास करावयाचे असेल तर वेगळा १८ / ५ ने गुणावे.
जर दोन ट्रेन एकाच दिशेला धावत असतील तर त्याच्या वेगांची वजाबाकी करावी व आलेला वेग आकडेमोड करण्यासाठी वापरावा.
जर दोन ट्रेन विरुद्ध दिशेला धावत असतील तर त्याच्या वेगांची बेरीज करावी व आलेला वेग आकडेमोड करण्यासाठी वापरावा.
वरील दोन्ही प्रकारात ट्रेन च्या लांबीची बेरीजच करावी.
●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●
Que: Arun works thrice as fast as Mani. If Mani alone completes the work in 48 days, then in how many days Arun and Mani together can complete the work?
A 16 days
B 20 days
C 12 days
D 8 days
E 18 days
Correct Answer = C
Explanation.
Ratio of work efficiencies of Arun and Mani = 3 : 1 ( ? Arun works thrice as fast as Mani )
Ratio of Time Taken to complete same unit of work by Arun to Mani = 1 : 3 ( ? Time taken will be inversely proportional to Efficiency )
Mani completes the work = 48 days.
Mani 1 day work = 1 / 48
Arun can complete the same work = 16 days ( ? 48 / 3 = 16 )
As he is 3 times more efficient than Mani.
Arun 1 day work = 1 / 16
Work that can be completed by Mani and Arun when working together for a day = ( 1 / 48 ) + ( 1 / 16 )
= ( 1 + 3 ) / 48
= 4 / 48
= 1 / 12
Arun and Mani together can complete the work in 12 days.
🔹Digital root
*संबोध व संकल्पना*
___________________
============================
*Digital root संबोध व व्याख्या*
🔶Digital root -
आधी आपण Digital Root ची व्याख्या पाहुयात.....
*दिलेल्या संख्यातील अंकातील अंकाची बेरीज एक अंक येईपर्यंत करत जाने म्हणजे च त्या संख्या चे Digital Root होय*
☄ उदाहरणार्थ ....
567 = 5 + 6 + 7 = 18 = 1+8 = 9
*म्हणजे 567 चे Digital root 9 होय*
8956 = 8 + 9 + 5 + 6
= 28
= 2 + 8
= 10
= 1 + 0
= 1
*म्हणजे 8956 चे digital root 1 होय*
============================
*Example*...........
*How many three-digit numbers are having their digital root equal to 3* ?
*(e.g.).111 , 120 , ...... 993*
🔶 *आता वरील प्रश्न पाहुयात*
तीन अंकी संख्या शोधायच्या आहेत ज्यांची Digital root 3 आहे.
☄☄☄☄ *सुत्र* ☄☄☄☄
*Digital root 3 असणाऱ्या संख्या*
= *9n + 3*
[ n = 0, 1 , 2 ,3 .......]
*पहिली लहानात लहान तीन अंकी शोधण्यासाठी निरीक्षण करून आपणास....*
= 9n + 3
= 9 × 11 + 3
= 99 + 3
= 102 ✅....1 + 0 + 2 = 3
*मोठ्यात मोठी तीन अंकी संख्या*
= 9n + 3
= 9 × 110 + 3
= 990 + 3
= 993 ✅...9+9+3 =21 = 2+1= 3
म्हणजे च.....
पहिली संख्या n = 11 व शेवटची n = 110
*म्हणून एकूण संख्या - 100*
===========================
☄☄ *महत्त्वाचे* ☄☄
*Digital root सुञ*
========== ========
1 9n + 1
2 9n + 2
3 9n + 3
4 9n + 4
5 9n + 5
6 9n + 6
7 9n + 7
8 9n + 8
9 9n
*[ n = 0, 1, 2, 3, ...........]*
============================
🔶 *मोठ्या संख्या चे Digital root*
*Steps*.....
☄ *दिलेल्या संख्या स 9 ने भाग घाला*.
☄ *बाकी किती राहते ते शोधा*.
☄ *जेवढी बाकी शिल्लक असेल तेवढे त्या संख्या चे Digital root होय*
☄☄ *उदाहरणार्थ* ☄☄
प्रश्न . 567834 चे Digital root किती ?
*स्पष्टीकरण*
567834 ला 9 भे भाग घालू यात.
567834
= ------------------
9
= 63092 बाकी = 6
*बाकी 6 आली म्हणजे 567834 चे Digital root 6 होय*
🔹संख्या व संख्याचे प्रकार
N संख्यांची सरासरी = दिलेल्या संख्यांची बेरीज / n, n = एकूण संख्या
क्रमश: संख्यांची सरासरी ही मधली संख्या असते.
उदाहरणार्थ – 12, 13, [14], 15, 16 या संख्या मालेतील संख्यांची सरासरी = 14
संख्यामाला दिल्यावर ठरावीक संख्यांची (n) सरासरी काढण्यासाठी
n या क्रांश: संख्यांची सरासरी = (पहिली संख्या + शेवटची संख्या) / 2
उदा. 1) क्रमश: 1 ते 25 अंकांची सरासरी = 1+25/2 = 26/2 = 13
1 ते 20 पर्यंतच्या सर्व विषम संख्यांची सरासरी =1+19/2 =20/2 =10
N या क्रमश: संख्यांची बेरीज = (पहिली संख्या + शेवटची संख्या) x n/ 2
उदा.
1) 1 ते 100 अंकांची बेरीज = (1+100)x20/2 = 81x20/2 = 810
(31 ते 50 संख्यांमध्ये एकूण 20 संख्या येतात. यानुसार n = 20)
नमूना पहिला –
उदा.
चार क्रमवार सम संख्यांची सरासरी 35 आहे, तर त्यापैकी सर्वात लहान संख्या कोणती?
32
30
34
28
उत्तर : 32
क्लृप्ती :-
सरासरी संख्या ही क्रमवार संख्यांच्या मधली संख्या असते.
32, 34, [35], 36, 38
नियम –
क्रमश: असलेल्या अंकांची सरासरी = (पहिली संख्या+शेवटची संख्या) ÷ 2
वरील सूत्रानुसार 1+20/2 = 10.5, 1+10/2 = 5.5
यावरून (10.5-5.5) = 5
नमूना दूसरा –
उदा.
क्रमश: 1 ते 100 अंकांची बेरीज किती?
5050
10050
10100
2525
उत्तर : 5050
क्लृप्ती :
क्रमश: संख्यांची बेरीज = सरासरी × एकूण संख्या = 1+100/2 ×100 किंवा
= 101×100/2 = 101×50 = 5050
नमूना तिसरा-
उदा.
35, 39, 45, 36, आणि 4* या दोन अंकी संख्यांची सरासरी 39 आहे; तर शेवटच्या संख्येतील एकक स्थानचा * च्या जागे वरील अंक कोणता?
3
5
0
7
उत्तर : 0
क्लृप्ती :
सरासरी = 39 [मधली संख्या (35 36 39 45 4*)]
एकूण = 39×5 = 195
एकक स्थानी 5 येण्यास 5+9+5+6+* = 25 = 0 = 25
0+5 = 5
:: * = 0
नमूना चौथा –
उदा.
क्रमश: पाच विषम संख्यांची सरासरी 37 आहे. त्यापुढील 5 विषम संख्यांची सरासरी 47 आहे; तर त्या दहाही संख्याची सरासरी किती?
44
43
42
40
उत्तर : 42
क्लृप्ती :
एकूण संख्यांची सरासरी = सरसरींची बेरीज / एकूण संख्या (N) 37+47/2 = 42
नमूना पाचवा –
उदा.
एका नावेत सरासरी 22 कि.ग्रॅ. वजनाची 25 मुले बसली. नावाड्यासह सर्वाचे सरासरी वजन 24 कि.ग्रॅ. झाले तर नावाड्याचे वजन किती?
74 कि.ग्रॅ.
71 कि.ग्रॅ.
75 कि.ग्रॅ.
100 कि.ग्रॅ.
उत्तर : 74 कि.ग्रॅ.
नावाड्याचे वजन = (सरासरीतील फरक × विधार्थ्यांची संख्या) + नवीन सरासरी
क्लृप्ती :
सरसरीतील फरक = 24 -22 2×25.
नावाड्याचे वजन = 50+24 = 74
नमूना सहावा –
उदा.
एका वर्गातील सर्व मुलांच्या वयांची सरासरी 15 वर्षे आहे. त्यापैकी 15 मुलांच्या वयांची सरासरी 12 वर्षे आहे व उरलेल्या मुलांची सरासरी 16 वर्षे आहे, तर त्या वर्गात एकूण मुले किती?
60
45
40
50
उत्तर : 60
स्पष्टीकरण :-
15 मुलांच्या वयांची सरासरी एकूण मुलांच्या सरासरी पेक्षा 3 ने कमी व उरलेल्या मुलांच्या वयाची सरासरी 1 ने जास्त आहे. एकूण भरून काढावयाची वर्षे = 3×15 विधार्थी = 45 वर्षे
उरलेल्या विधार्थ्यांपैकी 1 विधार्थी 1 वर्ष भरून काढतो.
उरलेले विधार्थी = 1×45 = 45 विधार्थी
:: एकूण विधार्थी = 45+15 = 60 विधार्थी
नमूना सातवा –
उदा.
एका दुकानदाराची 30 दिवसांची सरासरी विक्री 155 रु. आहे पहिल्या 15 दिवसांची सरासरी विक्री 190 रु. असल्यास; नंतरच्या 15 दिवसांची एकूण विक्री किती?
285
2375
1800
1950
उत्तर : 1800
क्लृप्ती : -
(155 – सरसरीतील फरक)×15
= (155-35)×15
= 120×15
= 1800
नमूना आठवा –
उदा.
ताशी सरासरी 60 कि.मी. वेगाने जाणारी आगगाडी निर्धारित ठिकाणी निर्धारित वेळेत पोहचते. जर ती ताशी सरासरी 50 कि.मी. वेगाने गेल्यास ती निर्धारित वेळेपेक्षा 30 मिनिटे उशीरा पोहचते. तर तिने कापावयाचे एकूण अंतर किती?
300 कि.मी.
150 कि.मी.
450 कि.मी.
यापैकी नाही
उत्तर : 150 कि.मी.
स्पष्टीकरण :-
एकूण अंतर x मानू
∷x/50-x/60=30/60
∶:(6x-5x)/300=1/2
x= 300/2
=150 कि.मी.
🔹घटक - काम काळ व वेग.
सुञ -
1) अंतर = वेग × वेळ
अंतर
2) वेग = ----------
वेळ
अंतर
3) वेळ = -----------
वेग
======================
✏आगगाडी किंवा रेल्वे साठी सुञ.✏
🚝🚝🚈🚈🚈...आगगाडी किंवा रेल्वे साठी चे गणित सोडवण्यासाढी वेग हा km व वेळ ही तासात दिलेली असते. परंतु रेल्वे व आगगाडी एकमेकांना ओलांडून जाते हे उत्तर मीटर -सेकंद मध्ये असते म्हणून त्या साठी पुढील सुञ तयार होतात.
📙📙📙📙📙📙📙📙📙📙
एक रेल्वे जिची लांबी X मीटर आहे. व वेग vKm/h आहे.एक विचेजा खांब ओलांडून जाण्यासाठी लाग वेळ....
18 X
वेळ = ------ × --------
5 v
📘📘📘📘📘📘📘📘📘📘
एक रेल्वे X मीटर लांब व एक पुल Y मीटर लांब वेग v Km/h असेल तर पुल ओलांडून जाण्यासाठी लागणारा वेळ....
18 ( X + Y )
वेळ = ------ × -----------------
5 v
📒📒📒📒📒📒📒📒📒📒
दोन रेल्वे अनुक्रमे लांबी X मीटर व Y मीटर आहे . वेग अनुक्रमे v Km/h व u Km/h आहे.
( v > u ) असेल .....
✏ एकाच दिशेने जात असातील तर ओलांडून जाण्यासाठी लागणारा वेळ....
18 ( X + Y )
वेळ = -------- × -----------------
5 ( v - u )
✏✏ एक मेकाच्या विरूद्ध दिशेला जात असतील तर ओलांडून जाण्यासाठी लागणारा वेळ ....
18 ( X + Y )
वेळ = ------- × ----------------
5 ( v + u )
======================
🔹 घटक - घड्याळ
स्पर्धा परीक्षा किंवा अनेक नौकरी साठी घेण्यात येणाऱ्या परीक्षेत घड्याळावर अनेकदा प्रश्न विचारतात त्या साठी काही सुञ आज आपण पाहू या.
🚦 सुञ :-
1) वेळ दिली असता कोन काढणे.
11
= --------- × M - 30 × H
2
M - मिनीट
H - दिलेल्या वेळेत एकूण किती तास आहेत.
2 ) समजा 7 ते 8 च्या दरम्यान किती वाजता तास व मिनीट काटा एकमेकावर येतात.....
सुञ...
60
= ----------- × 7 × 5
55
3) दिवसात किती वेळा तास व मिनीट काटा 90° चा कोन करतात ??
उत्तर - 12 तासात - 22 वेळा.
24 तासात - 44 वेळा.
4) दिवसात किती वेळा तास काटा व मिनीट काटा परस्परांशी विरूद्ध असतात /येतात ?
उत्तर -
12 तासात - 11 वेळा
24 तासात - 22 वेळा.
5 ) एक मिनीट म्हणजे 6° होय.
एक तास म्हणजे 90° होय.
6 ) प्रत्येक तासाला तितकेच ठोके पडत असतील तर दिवसात एकूण ठोके किती पडतात ?
12 × 13
= ---------------- = 78.....12 तासात.
2
24 तासात एकूण ठोल - 156
7 ) 4 ते 5 च्या दरम्यान किती वाजता तास व मिनीट काटा विरुद्ध दिशेला असतील ?
स्पष्टीकरण -
या वेळी मिनीट काटा 10 ते 11 च्या दरम्यान असेल म्हणून ...
M = 10 घ्यावे .
60
= --------- × 5 × M
55
60
= ----------- × 5 × 10
55
600 6
= ----------- = 54 ------
11 11
6
म्हणजे च 4 वाजून 54 ----- मिनीट.
11
8) 5 ते 6 च्या दरम्यान किती वाजता 90 ° चा कोन होईल ?
स्पष्टीकरण -
90 ° चा कोन होण्यासाठी मिनीट काटा 8 च्या पुढे असाला पाहीजे.
म्हणून M = 8 घ्यावे .
60
= ------- × 5 × 8
55
480 7
= ------------- = 43 ------
11 11
म्हणून ... 7
90° चा कोन 5 वाजून 43 ----- मिनीट.
11
=========================
🔹घटक - काम व काळ
स्पर्धा परीक्षा किंवा इतर महत्वाच्या परीक्षा मध्ये पाण्याचा हौद या घटकावर प्रश्न असतात तर त्या दृष्टीने आज आपण सुञ पाहुया.....
🚦 सुञ :-
1) समजा दोन नळाने प्रत्येकी X तासात व Y तासात पाण्याचा हौद भरतो. दोन्ही नळ एकाच वेळी चालू केले तर किती वेळ लागेल...
X × Y
= -----------------
( X + Y )
2) समजा तीन नळाने अनुक्रमे ..X , Y व Z तासात भारतात....एकदाच चालू केले तर लागणारा वेळ....
XYZ
= --------------------------
XY + YZ + ZX
3) समजा एका नळाने भरायला X तास वेळ व दुसऱ्या नळाने रिकामा होण्यासाठी Y तास ...हौद भरण्यासाठी लागणारा वेळ....
X × Y
= ----------------
( Y - X )
4) दोन नळाने भरण्यासाठी X , Y तास लागतील व रिकामा होण्यासाठी Z तास लागतात तर हौद भरण्यासाठी किती वेळ लागेल .....
X × Y × Z
= ------------------------
ZX + ZY - XY
5 )....थोडक्यात किती ही नळ असले भरण्यासाठी किंवा किती ही रिकामा होण्यासाठी खालील एकच सुञ लक्षात ठेवा.....
समजा भरण्यासाठी ...a b c d...तास असणारे नळ आहेत.
रिकामा करण्यासाठी ...k l m n ...तास असणारे नळ आहेत तर लागणारा वेळ ....
1 1 1 1
= ---- + ---- ....... - ---- - --- ....
a b k m
याचे जे उत्तर येईल त्याचे गुणाकार व्यस्त लिहणे म्हणजे च उत्तर होय.
==========================
Average - सरासरी
============================
सरासरी - *दिलेल्या एकूण घटकांची बेरीज भागीले एकूण घटक यांची किंमत म्हणजे सरासरी होय*
*Average - Sum of total components divided by number of components is called average*
*घटकांची बेरीज*
सरासरी = ----------------------------
*एकूण घटक*
*Sum of all comp*
*average = --------------------------*
*No. of comp.*
उदाहरणार्थ ....
सुरेश ला मराठीत 78 गुण मिळाले , हिंदी 82 गुण मिळाले , इंग्रजीत 75 गुण ,गणित 80 गुण विज्ञान 85 गुण, इतिहास -भुगोल 80 गुण मिळाले तर त्याला सरासरी किती गुण मिळाले ?
explanation .......
Total Mark
Average = ---------------------------
Total subject
78 + 82 + 75 + 80 + 85 + 80
= -------------------------------------
6
480
= -----------
6
= 80
म्हणून *सुरेश ला सरासरी 80 गुण मिळाले*
==========================
*Example -2*
*What is average of first 10 nature number ?*
*explanation*-.....
Sum of first 10 N.no
Avarage = ----------------------------
Total number
55
= ----------
10
= 5.5
*Average of first twn natural number is 5.5*
===========================
*example - 3* *नेहमी चुकणारा प्रश्न*
एक गाडी जाताना 20 km/h वेगानं जाते.व परत येताना 30 km/h वेगानं येते तर त्या गाडीचा सरासरी वेग किती ?
*explanation & tricks*......
2 × V1 × V2
सरासरी वेग = ---------------------
V1 + V2
2 × 20 × 30
= ---------------------
20 + 30
= 1200/50
= 24 km/h
म्हणून *सरासरी वेग = 24km/h
========================
*महत्त्वाचे सुत्र*
[ 1 ] पहिल्या N नैसर्गिक संख्या ची सरासरी ....
*Average of first N Natural number is*......
( N + 1)
= --------------
2
[ 2 ] पहिल्या N सम संख्या ची सरासरी ......
*Average of first N even number*
= ( N + 1)
[ 3 ] पहिल्या N विषम संख्या ची सरासरी ......
*Average of first N odd number*....
= N
======================
- लिंक मिळवा
- ईमेल
- अन्य अॅप्स
टिप्पण्या
नवोदय मधील उदाहरणे सोडवून दाखवा.
उत्तर द्याहटवाA हा एक काम 4 तासात पुर्ण करतो , B आणि C ते काम 3 तासात पुर्ण करतात , A आणि C ते काम 2 तासात पुर्ण करतात , तर एकटा B ते काम किती दिवसात पुर्ण करेल
हटवा12 तासात
हटवाएक काम १५ मुले व २० माणसे ५ दिवसतात करता किंवा तेच काम १८ मुले व ३१ माणसे ४ दिवसात करता तर ९ मुले व २८ माणसे किती दिवसात पुर्ण करतील
उत्तर द्याहटवा8
हटवाअ ब क मिळून एक काम 12 दिवसात करतात अ हा ब च्या दुप्पट काम करतो तर क हा अ व ब यांच्या कामाच्या 1 छेद 3 काम करतो तर एकटा क ते काम स्वतंत्रपणे किती दिवसात करेल
उत्तर द्याहटवा48
हटवा48
हटवा